So-net無料ブログ作成
  • ブログをはじめる
  • ログイン
52. 数学 ブログトップ
前の10件 | -

#3750 根高前期中間テストの結果 Jun. 6, 2018 [52. 数学]

<更新情報>
6/7 夜10時40分 投稿欄に寄せられた標準偏差データを参考に後半部を書き直した。

 先週、根室高校で前期中間テストが行われた。高体連とかぶっているので、月曜日に試験を受けた生徒も少なくなかっただろう。昨日(火曜日)一部のテストが返却された。

 高1の生徒は6人だが、高校入学後初の定期テストだから、結果がどのようにでるか楽しみだった。数学の満点が3-5人出ると予想していたがどうやら単独の様子、既習問題からの出題だから、丁寧にやっておけば上位の学力の生徒5人程度は満点が獲れるはず。この学年は中3の時に60点満点の学力テストで数学が50点を超えるのは市内で一人だけだった、だからこんな「悲惨な」結果になるのだろう。40点以上で見ても市街化地域の3中学校で5人ほど。学力上位層が枯渇化現象を起こしているのだから当然の結果である。
  一人は満点だったが、満点を期待したもう一人の生徒は案外点数が獲れなかった、部活で忙しくて勉強時間が足りないのだろう。予習中心で学習しているから、既習問題を丁寧に復習しておけば満点取れる能力の生徒である。次のテストでは奮起してもらいたい。
 ところで数学満点の生徒は英語2科目は99点と100点だった、高校英語授業が楽しいという。使役のmake、have、letを並べて英語の先生が解説してくれたと喜んでいた。塾でこれら使役に使われる動詞の使い分け英作文をやっていたからだろう、彼のニーズに合っていた。関係代名詞の説明も塾とよく似た説明だったという。英作文するときにシンプルセンテンスで書いて、そのあとで関係節で書き換えたり、句に書き換えさせたりしている。英作文では基本動詞をつかって書き換えさせたりもしている。中学時代の後半はほとんど授業を聴かずに高校の教科書を翻訳していた。日本語にならないところを塾でよく質問していた。「日本語として読んで自然な訳文となるまで熟考せよ」と指導している。英語の理解力と日本語の表現力の両方が揃わないとできない「芸」である。センター試験ではそういうレベルは要求されないが、何かの折には、訳文を見ただけで、この生徒の英語力の確かさが試験をする側に伝わるだろう。もちろん、難関国立大学の2次試験や大学院入試ではこういう「芸」が役に立つ。
 良質の日本語音読テクストをつかって音読トレーニングを四年間したことが、この生徒の英語の学力を支えている英文も段落読みをちゃんとしているから、ただ英語の勉強をしてきた生徒とは長文問題で差がつくのである。使われる英文の難易度が上がれば上がるほど差がつくだろう。難易度は高くはないが、初めて受ける全国模試(7月の進研模試)の偏差値が楽しみだ。
 日本語音読トレーニングは12冊を読み終わり、いま『福翁自伝』を読んでいる。福沢諭吉の自伝だが明治期に書かれたもの、かれにとっては「古典文学」の範疇に入るらしい。さすがにこの時代のものだと読めない語彙が頻繁に出てくるから、苦労している。そのうちにこのレベルのテクストも慣れ、すらすら読めるようになるだろう。
 勉強は基礎の部分は手を抜いてはいけない日本語語彙力、読解力は学力の土台をなしている。4年間続けている日本語音読の効果もあってか、現代国語もどうやら学年トップの様子。数英国が学年トップ、国立大学受験向きだ。でも、本を読まない生徒で、その強情さにebisu先生は困っている。論説文ばかりでなく小説や文学作品も読まないと人の心の機微がわからないだろう。(笑)

 高1の生徒にはアルファ1の生徒が二人いる。数学は一番上がガンマ、次がベータ1、ベータ2、アルファ1、アルファ―2の5クラスにわかれている。アルファ1のうちの一人の学習意欲がこの一月ぐらいではっきり変わった。計算速度も書く速度も平均値よりは上、学習意欲もアップしたからこれで成績が上がらなければ教え方がよほど悪いということになる。こういうタイプはちゃんと学習すれば成績が飛躍的に上げられる。その生徒から10時前にメールが入った、クラス分けが発表された、「ベータ2にアップしました、ありがとうございます」とうれしい便り。
 この生徒の快進撃は始まったばかり、いまのままやり続けたらテストがある都度、クラスアップできる。

 「努力 ⇒ 実績 ⇒ 自信 ⇒【楽しい×うれしい】⇒ 努力

 まずは努力する、最初の一歩の出だしはとっても力がいる。そして努力の結果がテストの点数になって現れる。たとえば、いままで50点前後の生徒が80-90点獲れるようになったら強い自信がわいてくる。自信がわくとむずかしい問題でもなんとかなるような気がするし、やってみれば実際に何とかなる問題が増えてくる。テストも自信をもって受けるからミスが少なくなる。学力がアップすることでいままで半分しか理解できなかった学校の授業がほぼ理解できるようになる。内容が理解できるようになれば授業が楽しいものに変わり、その授業を100%理解したくて予習するようになる。予習を続けたら点数がさらにアップする、…
 こういう循環の心地よさをたくさんの生徒に味わってもらいたいと思って始めたバーチャル私塾「ニムオロ塾」現実の塾にベースを置いている。

 高2の生徒は一人だけだが、数学は90点を超えた、中学生の時から文武両道の生徒である。ベータ1クラス(上から二番目)でトップだった。ベータ1で数学トップは初めてかもしれない、いままで一人だけ抜けない男子生徒がいた。ベータクラスとガンマクラスとでは試験問題が違うので学年の順位はわからない。進研模試の学年順位で見るしかない。この生徒は入学当初も2年時になるときも特進コースのクラスに入れるので先生に希望を訊かれたが、2回とも断っている、もったいない。最上位のガンマクラスでも10番目くらいの成績が獲れるのにもったいない気がする。部活との両立に不安があるのかもしれぬ。

 高2の生徒ができなかった問題が一つだけあった。青チャートレベルの問題である。
 (2x^2-1/(3x)+1)^5の定数項を求めよという問題だった。これは学校で使っている問題集には載っていないレベルの問題。青チャートには類似問題だがもっと簡単なものが採録されている、符号が全部+である。ベータ1で『青チャート』をやっている生徒はいないだろう。できなかった1題を塾でしっかり理解したから、形を変えて出題されても対応できる。塾に備え付けの『青チャート』の問題をやっていた。この生徒にはちょうどいい。「シリウス数Ⅱ」の見本用(旧版)があるので、この生徒にあげた。青チャートレベルだが、問題量がずっと多い、5倍くらいはあるかな。気になるところだけやってみたらいい。
 ガンマクラスのI君はたぶん青チャートレベルの問題集をやっている、あいつは文武両道で計算が速いしセンスがいい。中学時代は入塾当初学年十数番で「1番なんて絶対無理」と言っていたが、「獲れるよ、いまの君の学力なら頑張ればトップ獲れるからチャレンジしてみな」なんどもそう伝えた。一度学年トップをとったら自信がついたようで、学力が上がってしまった。努力が実績となって実ると自信がつく、自信がつくと落ち着いてテストにも臨めるから点数はさらに上がる。このようにして学力が一段上がってしまう。昨年最初の進研模試で70点台をたたき出したと噂に聞いた。もっと頑張れ、進研模試9割得点できたら偏差値80超だ、獲れると思えば獲れるものだよ。獲れないと思っている奴には永久に手が届かない。
 釧路湖陵理数科なら進研模試で70-80点は中の上のようだが全国レベルでは偏差値70超、立派なもの。その釧路湖陵理数科ですら、全国レベルでは「進学校」の定義から外れる。明確な定義はないが、首都圏で「進学校」といわれている高校は毎年東大合格者を5名以上輩出している。東京都立だと総合偏差値67以上の高校かな。
*都立高校偏差値2018年度版
http://www.geocities.jp/toritsukoukou2/

 中学校で学年10番前後なら勉強のやり方と努力次第でだれでも高校でトップを狙える。定期テストなんて90%が既習問題からの出題だから百点獲るのに特別な才能は必要なしだ。


 3年生は二人だが、進路でコースが分かれており、問題が違う。どういう結果になったか、木曜日にはわかるだろう。高校最後の1年間、悔いを残さない結果をたたき出してもらいたい。


<余談:定期テストの難易度低下を憂う>
 どうも定期テストの難易度が低そうだ。特に英語にその傾向が顕著にでているようだ。根室西高校が募集停止して2年目、定期テストの難易度を下げざるを得ないのではないか。数学のほうは習熟度別クラス編成になっており、試験問題もアルファ、ベータ、ガンマクラスそれぞれ別々になっているが他の科目は問題が同じだ。同じ普通科へ学力レベルの低い生徒たちが大量に入学してくると、授業や定期テスト問題は難易度を下げざるをえなくなる。成績下位層の生徒たち50人ほどが赤点になるからだ。先生たちは自分の担当教科で赤点をつけて留年や退学させて恨まれてくないから、試験問題の難易度を下げて対応する、人の心理とはそういうもの。試験のない井戸を下げたら、生徒たちの平均的な学力が下がるのは道理だ。
 物の道理を知らぬ高校統合検討委員会が見過ごした問題である。統合2年目、物の道理をわきまえぬ大人たちがやった杜撰な仕事は、こういう風に先生と生徒たちにツケを回すことになっている。


*#3751 進研模試偏差値の目安 Jun. 7, 2018
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2018-06-06


 #1823 激烈な競争から這い上がれ:団塊世代の友人からの手紙 Jan. 31, 2012 
 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2012-01-31

#2006 Eさんの新刊書『漫言翁 福沢諭吉 時事新報コラムに見る明治』 July 10, 2012
 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2012-07-10

 #2044 『漫言翁 福沢諭吉 時事新報コラムに見る明治』 (2)  Aug. 8, 2012 
 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2012-08-08

 #2254 『漫言翁 福沢諭吉・・・』 (3) Apr. 2, 2013 
 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2013-04-02

*#1025 『明治廿 五年九月の ほととぎす 子規見参』 遠藤利國著 May 10, 2010 
 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2010-05-10

  #1030 『nationalism とpatriotism』 May 17, 2010
  
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2010-05-17


  #1362  『「漢委奴国王」金印誕生時空論』を読む:パイオニア 
 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2011-01-30-2

  #1366 『「漢委奴国王」金印誕生時空論』を読む (2) : 学問の楽しさ Feb. 2, 2011 
 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2011-02-02

  #1368 『「漢委奴国王」金印誕生時空論』を読む (3) : 学問の楽しさ Feb. 3, 2011 
 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2011-02-03-1


      70%       20%      
 日本経済 人気ブログランキング IN順 - 経済ブログ村教育ブログランキング - 教育ブログ村

nice!(0)  コメント(5) 

#3737 看護系専門学校用数学問題集 May 9, 2018 [52. 数学]

<最終更新日時:5/10朝8時23分>

 注文してあった問題集が入荷したと本屋から連絡があった。10時の気温は3.7度と低かったので、薄手の手袋をしてロードバイクで本屋まで行ったら、手が冷たくてかじかんだ。昨日と違って風がほとんどない。昨日の同じ時間は北風7.4m/sだった。これからの季節は根室が全国一涼しい、それを通り越して今日のように寒い日もある。もちろん暖房を入れている。曇り空で日が当たらなければ寒い。
  それで、届いた(看護系進学者のために根室高校が今年度採用した)問題集は次の通り。

 B:アクセス 看護医療学校受験 オープンセサミシリーズ問題集② 数学Ⅰ・A』東京アカデミー

 ずいぶん厚くなった。根室高校で前に使っていたのは
 A:『看護・医療系・受験 新編 数学ⅠAの重点整理』正高社

 Aは問題が 87頁 、解答32頁、問題数412
 Bは問題が140頁、解答98頁、問題数410

 本の大きさはA5版で同じである。そして問題数も同じくらいなのに、BはAの1.6倍のページ数だ。問題の難易度も上がっている。以前の問題集であるAのほうはできのよい生徒が2回やって看護模試で79-80点ラインどまりだが、今回の問題集なら2回やれば80点を超えられそうだ。以前の問題集の難易度では不十分だと感じていたので、歓迎したい。
 看護専門学校で真ん中以下のところは以前の問題集で十分だが、競争倍率の大きいところはあれだけではちょっと心もとなかった。かといって、センター試験レベルの難易度の問題集ではちょっときつい。センター試験レベルの問題集がスラすら解けるなら全道看護模試で10番以内の実力があるから、国語と英語ができれば大学看護学部の受験を薦めたい。国公立大の看護系は科目が多いので、にわかに進路変更は無理だ。狙うなら、中3くらいから受験戦略を描いて、目標へ向けてきっちり「修行」を積むべきだ。根室の子どもたちはそういう世界を知らないから、中学生のころから知っている大人が伝える必要がある
 幸いなことに、つい最近、道産子のいい経験談がネットにあることを投稿欄で知らせてくれた人がいるので参考にしてもらいたい。釧路から東大文Ⅲに合格し、現在ニュヨーク州立大学に留学中の阿部幸大さんをとり上げた弊ブログ記事#3734と富良野から旭川西高校へ往復4時間かけて通学して、首都大学東京(旧都立大)看護学科へ進学を果たし、歌手と看護師の二股生活を続ける瀬川あやかさんをとりあげた#3735を参考にしてもらいたい。
 誰かが困難な道を切り拓いてくれたら、そのあとに続くのはずっと容易になるから、何人も続くものがあらわれる。だから期待したい。
 信じられないかもしれないから一例を挙げておこう。根室で小学生で珠算5段が出たのは1967年ころだったかな、独りが突破したら上位の数人がそれに続いた。あれはすごかった、一気に根室の珠算のレベルが全道トップレベルに躍り出た。指導したのは高橋珠算塾の高橋尚美先生だ、数年前に亡くなった。ebisuの恩師の一人である。
 もう一つ追加したい。できのよい中学生N村君がいた。もう高校入試のために勉強することがなくなったので、将来を考えて中3の11月頃から簿記を教えた。翌年11月、高校1年生の時に日本商工会議所簿記検定試験2級に合格している。日商簿記2級は商業簿記と工業簿記の二科目あり、全国商業高等学校主催の簿記実務検定試験1級に相当する。この生徒は根室高校普通科に2番の成績で合格している。根室高校で日商簿記2級に合格したのは彼が初めてであり、1年生で日商簿記2級に合格した生徒は商業科を含めてもそれまで一人もいなかった。公認会計士という職業が選択できるようにと思って指導した。
 中学時代の同級生のK村君は事務情報科に進学したが、入試当日の夜から簿記を教えた。先行しているN村君へメラメラと闘志を燃やしているのを感じたからだ。事務情報科で簿記はいわば「本業」である。本気(マジ)でやらないと合格は無理だから、2級合格まで部活をやらずに塾へ来るなら教えてやると言ったら、「教えてください」と即答だった。彼がN村君に続いた。3か月遅れて2月に日商簿記2級に合格している。K村君は6科目1級取得で根室高校を卒業して札幌の大学へ推薦で進学した。中学時代は大学進学を考えていない生徒だった。大人が後押ししてやったら目覚める生徒がいる。教育環境のハンディは根室に住む大人が子どもたちの意識を変えることで乗り越えられる場合もある。

 話を元に戻そう。この問題集付属の解説集は3倍の量になっているから、独習に適している。できれば、夏休み中に1回目を終えて、9月いっぱいで2回目をやるといい。もちろん、1回目にできかなった問題には印をつけておこう。2回目はその問題だけやればいいから、量は1/10ほどになっているだろう。3回目は1/20の量で済む。
 どんなに遅くても、9月中には1回目を終了しよう。

 四月に自分で電話をして入塾した高校3年生がこの問題集にチャレンジしている、成績のよい生徒だが、結構忘れている。いいのだよ、忘れたって。忘れる量よりもたくさんやればいい。(笑)
 解説は生徒のレベルに合わせてやっているから大丈夫だ。質問があっても、自力で解ける程度のところまでしかヒントを出さない。自分で解く楽しさを存分に味わってもらいたい。
 質問のし方に慣れてきたようで、楽しみながらやっている様子、集中力もあるから3か月後が楽しみだ。
 嫌いな英語は長文は教科書の予習中心で、あとは簡単な英作文を毎回1-3題用意してやらせている。英作文中心に10分くらいの授業はどの生徒も「食いつき」がよい。目からうろこの英作文演習、状況と日本文の理解からみっちりやっている。嫌いなはずなのに、いや嫌いだからこそかな、学校で使っている英語問題集も予習している。
「先生、こんなに英語の予習したの初めてです」
 素直すぎて、生徒の笑顔がまぶしい。(笑)
 

#3734 教育の地域格差の盲点:釧路市出身の阿部幸大さん May 2, 2018
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2018-05-02

 #3735 瀬川あやかさんの人生:看護師&歌手そして道産子 May 5, 2018
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2018-05-05


      70%       20%      
 日本経済 人気ブログランキング IN順 - 経済ブログ村教育ブログランキング - 教育ブログ村
 

nice!(2)  コメント(0) 

#3718 e^(iΘ) = cosΘ + isinΘ:春休みの読書 Apr. 9, 2018 [52. 数学]

 9時の気温は6度、7m/sの風が吹いているから外は寒い。
 根室高校は今日が入学式である、O君が新入生を代表して挨拶文を読む。学力テストではいいときは300点満点で280点を超えていたが、入試の合計得点は3年次の5回のどの学力テストよりも低かったのに、それでもトップ。学力トップ層が枯渇化現象を起こしているのがよくわかる、幾分か悔しい思いをしながらの挨拶と決意表明だろう。

 3月17日から春休みを2週間とった、歯の治療のほかはとくに用事もなく暇なので本棚にあった複素関数の本を開いてみたら、その中に出てくるオイラーの公式がまぶしい。数Ⅲで複素平面がでてくるが、計算はできても意味がわからなかった。
 複素関数はまったくの別世界、そしてそれは 複雑な構造をもちながら単純でとてつもなく美しい。

 e^(iΘ) = cosΘ + isinΘ

 両辺を2乗すると三角関数の2倍角の公式が簡単に導出できる。習わなくても、高2の生徒は覚えておいた方がいい公式である。

 この式を見て、グラフがイメージできるだろうか?わたしにはできなかった。代を継いで40年来愛用しているHPの社製・科学技術用プログラム計算機HP-35sには複素数の機能がついているので、方程式を入れると数値計算は容易にできるから、グラフを手作業でプロットすればいいだけ。
(グラフ描画はプログラミングすればいいのだが、もっているC++コンパイラーは20年以上前のもので16ビットマシン用、64ビットマシン用OSであるwindows10では動かない。コンピュータの性能が指数関数的に向上していくから、コンパイラーへ投資してもじきに使えなくなる。)

*「複素三角関数~単位円の束縛を超えて」
http://taketo1024.hateblo.jp/entry/complex-trigonometric

 オイラー(1707~1783年)はどうしてこんな式を考え付いたのだろう?
 間をつなぐものは、指数関数と三角関数の級数展開式である。オイラーは計算に堪能なだけでなく、飽くことなく計算に没頭する人であったらしい。
 eはネイピア数で、iは虚数単位である。この式は複素平面上で、指数関数が三角関数に還元されることを意味している。三角関数側から見ると、複素平面上では三角関数は指数関数の一次結合としてあらわすことができるということ。
 数Ⅱで指数関数と三角関数がでてくるが、これらを統一的に論ずる場は高校数学の範囲では提供されない。実数の範囲内で考える限り、別物である。それが複素数の世界では密接な関連がでてくる。
 π(pi)と i(虚数単位)と e(自然対数の底)、これら三つが一つの式の中で使われていることも新鮮な驚きである。
 
 1955年に提出された谷山・志村予想というのがあるが、これは楕円関数のモジュラーリティに関する議論であった。ウィキペディアによれば、「モジュラー群という大きな群についての対称性をもつ上半平面上の複素解析的函数である」と書いてある。ワイルズのフェルマーの定理の証明は谷山・志村予想を証明するというステップを踏んで可能になった。

∀n [ n≧3⇒∀x∀y∀z ¬(x^n+y^n+z^n]
nが3以上の自然数ならば、方程式 x^n+y^n=z^n を成り立たせる自然数x,y,z は存在しない


 どうやら、複素関数は別世界への扉のようだ、その奥にある世界をのぞいてみたくなる。
 春は感覚が新鮮になり意欲が高まる時期、教えることは学ぶこと。

#3538 ∀n [ n≧3⇒∀x∀y∀z ¬(x^n+y^n+z^n] May 7, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-05-07


*#3507 数学のセンス(1):数字に表れる美への感動がセンスを育てる Feb. 16, 2017 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-15-1

 #3509 数学のセンス(2):「同型性」と「拡張」⇒どのように考えるのか Feb. 19, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-19

 #3511 数学のセンス(3):授業時間数減少、数量、平面図形 Feb. 24, 2017 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-23

 #3512 数学のセンス(4):空間図形 イメージ操作 Feb. 26, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-26

 #3514 数学のセンス(5):空間図形と論理的思考 Mar. 2, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-03-02


      70%       20%      
 日本経済 人気ブログランキング IN順 - 経済ブログ村教育ブログランキング - 教育ブログ村

なっとくする複素関数 (なっとくシリーズ)

なっとくする複素関数 (なっとくシリーズ)

  • 作者: 小野寺 嘉孝
  • 出版社/メーカー: 講談社
  • 発売日: 2000/04/20
  • メディア: 単行本(ソフトカバー)

nice!(0)  コメント(0) 

#3683 指数方程式の問題:HP-35sと描画ソフトGRAPESの利用 Jan. 24, 2018 [52. 数学]


 指数方程式の問題を解いた後で、指数関数に置き換えたらどういうグラフになるのか、プログラマブル科学技術用計算機HP-35sと描画ソフトGRAPES(フリーソフト)を利用してみたい。要点を押さえた的確なグラフイメージを描くトレーニングである、複雑な指数関数グラフは参考書にもあまり載っていないので、フリーソフトを使ってやってみようというわけ。

-----------------------------------------------------
aを定数とする。xの方程式 4^(x+1)-2^(x+4)+5a+6=0 が異なる2つの正の解もつようなaの値の範囲を求めよ。『青チャート数』例題183

2^x=tとおくと、方程式は4t^2-16t+5a+6=0.....


の右辺をf(t)とし、の判別式をDとすると

x>0のときt>1だから、求める条件は、2次方程式t>1の範囲に異なる実数解をもつことである。

 D/4=(-8)^2-4(5a-6)=-20a+400
 f(1)=5a-6>0

 この連立方程式を解いて   6/5<a<2

---------------------------------------------------------------------

 

HP-35sを使って、等式 4^(x+1)-2^(x+4)+5a+6=0 を入力するとxとaが計算できる。"solve x"と入力すれば、aの値の入力が促され、入力された値に対応するxの値が計算される。aを計算したければ"solve a"と入力すればよい。答えの表示モードは固定小数点表示、science、engineeringの3タイプのいずれかを選び、桁数を指定してやればよい。

 x0のとき、a=6/5...
 X=1のとき、a=2...
"a=6/5"に代入すると、
  4^(x+1)-2^(x+4)+5×6/5+6=0

 この左辺をxの関数と考えると
     y= 4^(x+1)-2^(x+4)+12
...


 この式をコピペしてGRAPESへ入力すると、「capisco!<伊>(なるほど!)」と思う。x"-10" "-100" と入れていくと最初の項と2番目の項はゼロに近づいていく。したがって、グラフの左側は、定数項12への漸近線となることは明らか。
 では"x=-1"を代入するとどうなるか、面倒だから計算結果を表にして並べる。

 x -1   0   +1    +3      +5
 y    5   0    -4     140     3596

  このグラフは(00)を通り、x=1のとき最小値-4である。定数項を12よりも小さくすると、グラフの左側のx切片はマイナス側へ移動し、最小値は小さくなる。定数項が16(5a+6=16,すなわちa=2)のときにこのグラフはx軸に接する。16を超えるとx軸の上のほうに離れていく。
 したがって、問題文の
"
異なる2つの正の解もつようなaの値の範囲"という条件を満たすために、定数項は12より大きく16よりも小さい範囲でなければならない。

 ついでだから、aについて解いた式も入力してグラフを眺めたらいい。

 a-0.2(4^(x+1)-2^(x+4)+6)

 "x=1"で変化率がプラスからマイナスへ変わる。"x=1"のとき、aは最大値"2"をとる。

 
GRAPES
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
http://www.kn-makkun.com/MakkunWp/grapes.html

       70%       20%      
 日本経済 人気ブログランキング IN順 - 経済ブログ村教育ブログランキング - 教育ブログ村

 


nice!(0)  コメント(5) 

#3611 作図問題の良問 Sep. 13. 2017 [52. 数学]

 今日は中3年生の学力テスト総合Aの試験日である。昨日、B中学校の生徒が「平成25年度第4回学力テスト」の数学の問題をもってきて、作図問題の質問があった。問題には図が描いてあるが、都合により問題に示された図を描いてもらいたい。

 菱形ABCDがある、頂点Aから反時計回りにABCDと順に番号をつける。菱形の対角線の長さは縦4㎝、横8cmとする。辺CD上にCから3㎝のところに点Pがある。菱形の対角線は直交(直角に交わる)する。

 さて、ここからが問題である。

 頂点Aを辺BC上に折り重ねるとき、Aと重なる点をA'とせよ。折り線がP点を通るときの折り線を作図によって示せ。

 こういうような問題だった。

 紙を折るのだから、点Aと点A'はPを通る対象軸ℓに対して線対象となることがイメージできるか否かがカギである。わたしはこういう要所をつかまえることを「問題のヘソを押さえる」ということがある。
 問題には「ヘソ」がある。
 線対称は中1年生で学ぶが、中3の学力テストの作図問題で複合問題として出題されると、これら二つの分野がなかなか結び付けられない。教科書では、「第5章 平面図形」で、先に「対称移動」が出てきて、そのあとに「第2節 基本の作図」が出てくるので、作図問題に対称移動が結び付けにくいのかもしれぬ。
 作図の基本技術はたったの三つだけだから、何度か練習して完全にマスターしておこう。

① 角の二等分線
② 線分ABの垂直二等分線
③ 点Pから直線ℓへの垂線

 基本はこれら三つだけ、このほかには「線分ABの三等分線作図」があるだけ。学力テスト問題はたったこれだけの基本作図技術で正解できるように作られている。だから、どういう手順でそれらを使うのかという観点から問題文を読み解くこと。
 作図問題は他分野との複合問題になると途端に難易度が上がる、この問題はそういう例だ。

 中学生はここから先を読まずに、自力で解くことをススメます。

 脳にわからない状態を作り出し、しばらく保持することで頭がよくなります。すぐに解答を見るようでは頭はよくなりません。単に記憶の良い頭を作ってしまうだけ。ふだんの勉強のやり方が大事ですよ。
 羽生名人は江戸時代の将棋の難問集2冊、合計200題を、自力で全部解いたそうです。解答を見て勉強していたら、棋界史上初の七冠王は生まれなかったでしょう。



 正解手順を書いておく。

①コンパスの針を点Pにおいて、PAを半径とする半弧を描くと、辺BCとの交点がA'となる。
②半径を変える必要がないのでそのままにして、点Aから点Bのほうへ弧を描き、次に点A'に針を置いて弧を描き、二つの弧の交点をQとする。
③交点Qと点Pを通る直線を引く、これが求める折り線である。

 線対称の軸をℓとして軸上に点Pをとり、軸の左側に点Aをとれば、それと線対称になるA'の作図は誰でもできる。問題文を読み換えるとたったこれだけのこと。問題文の読み換え技術は高校数学では重要だから、意識してやってみたらいい、次第に慣れてくる。
 この問題の良問たる所以(ゆえん)は点Pを辺AD上ではなく、辺CD上にとったことにある。辺AD上にとれば、長方形でよく出題される頂点を折り重ねる問題と同じなので、おおよそ2割の生徒が時間内に正解手順に気がつくだろう。これも自分で作図してやってみるべし。

 さて、今日の学力テスト総合Aではどのような作図問題が出題されたのか、興味津々(しんしん)。


<びっくり仰天の解法>
① 答案用紙を縦折りし、次いで横折する。すると紙の中央に縦と横の折り線ができる。それを利用して四つの角を折り曲げて菱形をつくる。ここまで1分。
② 頂点にABCDを記入していき、点Pも記入する。こうして、折り線が点Pを重なるように点Aを辺BCに重ねてみる。
③AP、A'Pを結ぶ線分をそれぞれ記入する。
④ついた折り線に線を引いて眺める。

 辺の関係や折り線を眺め、作図の仕方に気がつけばOKだ。時間内に解くためだったら何でも利用してやろうという心構えが大事。


<余談:羽生善治と柳瀬尚樹対談>
 柳瀬尚樹氏は夙(つと)に名高い翻訳家である。氏が将棋が好きで羽生名人と親交のあることはよく知られている。柳瀬氏は根室高校の5年先輩のようだ。
 東京のK藤さんが数か月前にこの本『対局する言葉』を面白い本だからと送ってくれた。とっくに読み終わって、数回弊ブログで取り上げるつもりで延び延びにしている。センスということについて、将棋の名人と翻訳の名人の打てば響く記述がいくつもあるので、どうぞお読みください。フルパワーでの脳の駆使と心の問題も興味深い。十代のころにわたしもそうした経験がある。新たなカテゴリー「対局する言葉」を設定して、お二人の対局にコメントを付してみたい。若い皆さんの役に立つものとなることを願って。
 弊ブログで取り上げるのは、まだしばらくあとになります。K藤さん、ありがとう。

対局する言葉―羽生+ジョイス (河出文庫)

対局する言葉―羽生+ジョイス (河出文庫)

  • 作者: 羽生 善治
  • 出版社/メーカー: 河出書房新社
  • 発売日: 1996/12
  • メディア: 文庫



             70%         20%      
 
日本経済 人気ブログランキング IN順 - 経済ブログ村教育ブログランキング - 教育ブログ村


nice!(0)  コメント(0) 

#3600 「2次関数複合問題」:便利なツールで興味を広げよう Aug. 29, 2017 [52. 数学]

<更新情報>
8月31日11時10分 最小値に誤りがあり訂正。「香川ベンチスタート?」さんから投稿にがあり気がつく。

  高1の女生徒が7月の進研模試で全国偏差値55(根室高校普通科では偏差値55で学年160人中10番以内に入ってしまう)だったので、学校の問題集では不足だろうとご褒美に「シリウス数A」をあげた。「シリウス数Ⅰ」に2次関数のまとめに使える良問が2ページにわたって掲載されていたので、そのコピーもわたした。改訂新版90-93ページである。
  93ページに複合問題が載っていて、解けないので質問があった。奥が深い問題のようなので転載する。

(4) x,yを変数とするとき、x^2-2xy+2y^2-8y+3 の最小値を求めよ

 この問題は (●x+○y)^2+(y-◇)^2+△ の形に変形すれば、実数の範囲では、 (●x+○y)=0かつ (y-◇)=0 のとき、最小値△であることがわかるのだが、2次関数のおさらいをした直後にこの問題はきつかったようだ。

  f(x,y)=(x-y)^2 + (y-4)^2 +3 -13

  このように変形できるから、 x=y=4 のとき、最小値3 -13をとることがわかる。実数の範囲では2乗の最小値はゼロであることを思いだしたらよい。一度解けばパターンを覚えてしまうから、2度目からは機械的に解ける。

  だが、それだけで終わらせたらもったいない問題だ。
  高1の生徒には無理だが、この2変数関数が2次曲線であることは数Ⅲをやっていたら容易に想像がつく。次に、どのタイプか見当がつけられるだろうか?放物線か楕円か双曲線であるはず。あれこれ計算してみるとわかるが楕円、それも斜めにひしゃげた楕円となるので、どうやら数Ⅲの範囲も超えている。

  興味のある高校生は計算を厭わずにグラフを作図してみたらいい。
  xに0、±1、±2、… と入れてみたら様子が少しわかる。xに数値を入れると与えられた式はyの2次方程式になる。1番目と2番目の数値を代入すると、yは実数解があることが判別式でわかる。-2を代入するとyは虚数解になって作図できない。これらの計算から、xの定義域の左端は-2<x<-1の間にあることがわかる。
 xに10を代入すると yは虚数解となり作図できない。x=9なら yの判別式 D>0 で実数解ありだ。数学に強くなろうと思ったら計算を厭わぬこと。

 HP-35s Scientific Caluculator が使えたら、方程式を入力してxに任意の値を代入してその時のyの解を求めることができる。簡単だからプログラミングしてもいい、習うより慣れよ。Scientific Caluculator を使うと計算時間の節約になる。左端は-1と-2を2分割し、さらに2分割と数回2分割を続けると、どこに境目があるかわかる。バイナリーサーチ (2分木探索)法の応用である。

  高校生用にはもっと便利で簡単なツールがある。フリーソフトの GRAPES だ。このソフトはパソコン上で動くから、「 f(x,y)=(x-y)^2 + (y-4)^2 + 3」 を入力するとソフトが自動描画してくれる。操作は簡単だからやってみたらいい。
  楕円の長軸の両端の座標が (-1, 1) , (9. 7) となっていることが確かめられる。描画を見て見当をつけ計算によってそれを確かめたらいい。
  楕円の中心座標は (4, 4)にある。


 ずいぶん便利になった。こんなことを38年前にコンピュータでやらせようとしたら、機器制御用の科学技術計算専用パソコンとプロッターを使って、自分でプログラミングしなければいけなかった。二つの機器をそろえるだけで当時は400万円かかった。汎用コンピュータを使ったら数千万円。それが十万円のパソコンで、それもフリーソフトで可能になっている。ソフトの開発者、友田勝久さんと堀部和経さんのお二人に感謝。
  53年前にわたしが高校1年生の時にこういうツールがあったら、迷わず数学の勉強にのめり込んでしまっただろう。

  数学の全国偏差値を80以上にしたかったら、GRAPES のような便利なツールを使って興味の範囲を広げるのも一つの方法かもしれない。
 興味がわいたお父さんやお母さんも GRAPES で数学してみたらいかが?きっと楽しいですよ。フリーソフトですから、ダウンロードして自分で使ってみてから子供に薦めたらいい。


* GRAPES
http://www.kn-makkun.com/MakkunWp/grapes.html

    70%       20%      
 
日本経済 人気ブログランキング IN順 - 経済ブログ村教育ブログランキング - 教育ブログ村

 



nice!(0)  コメント(2) 

#3572 幾何:この問題を 1分で解くにはどうすればいい? Aug. 2, 2017 [52. 数学]

  昨日、高校2年生が夏休宿題プリントで1題だけできなかったのがあると質問があった。おおよそ次のような問題である。

  三角形の各辺の中点座標がそれぞれ (-1, -1)  (0, 1) (2, -2) であるとき、元の三角形の頂点の座標を求めよ。

  代数的に解くと三元一次連立方程式を二つ解かないといけない、もっと簡単なやり方がありそう。問題を眺めて三通りの解法が思いついた。二つはやり方をざっと解説して、好きなほうで最後までやるように指示。

「もっと簡単なやり方がないか考えてごらん、あるよ、一分で答えを見つける方法が、代数的に解いた後で五分やるから考えてみて」
そう伝えた。

  個別指導(3-7人のクラス)の楽しさは、生徒がどんな質問をもってくるのか分からないことにもある。同じ学年でも使っている問題集は各人の学力に応じてバラバラ。やることが決まっていて、そこからはみ出さない授業はただの仕事だからやるほうもあまり魅力を感じていないのではないか。シナリオのない授業は何が出てくるかわからないから、生徒も先生もドキドキワクワクして楽しめる。そういう場では生徒たちの好奇心と集中力が全開になる。

  中三の生徒でもやれる問題ですが、カギになる単元(第5章)はまだ習っていません。根室市内の中学校では第5章を11月頃習うことになるでしょう。そのころには第7章「三平方の定理」に入っていないと間に合わないのですが…。もちろん高校1年生には解けます。

  幾何の問題は問題文を読んだ後、図を頭のなかにイメージして、それを紙に書きだして眺めよう。頭の中を空っぽにすると別の解き方が見えてくる、2-3通りの解法を見つけて、どれが最速なのか比較しよう。
  最速の解法はコメント欄に書いておきます。自力で解いてから参考にしてください。


<余談>
  このクラスは高校2年生と高校1年生、中学3年生が2人、中学2年生が一人の5人編成の個別指導予習と演習中心の授業をやっている。
  高2の生徒は最上位のガンマークラス、高1の生徒は「ベータ1クラス」だが、特進コースに入れる点数だったのに断ってしまった生徒で、7月の進研模試では数学の自己採点56点だから学年順位は5番以内だろう。中3の生徒は数学と英語が苦手で6月に入塾したが、それぞれ前回期末テストよりも40-50点アップした。1学期期末テストは計算問題がほとんどだからアップするのは当然だが、幅が大きいのも事実。この二人はお祭りの練習で休みだった。4時から来て6時に帰れば7時からの練習には間に合うはずだが、来ない、すこしズボラなところがある。一か月で成績を上げた努力は認めるが、お祭りが終わってもこのような状態が続くなら、通塾している意味がないし悪い習慣をつけることにもなるので「入塾3か月ルール」を適用することになる。
  中2の生徒は昨年12月入塾、一番苦手だった英語で四月の学力テストでは94点の学年トップ。入塾直前の2学期期末テストに比べると50点超の大幅アップ。


     70%       20%      
 
日本経済 人気ブログランキング IN順 - 経済ブログ村教育ブログランキング - 教育ブログ村

#3531 生徒の質問:学力テスト数学問題 Apr. 13, 2017 [52. 数学]

  中学校の学力テストが今日(4/13)実施された。中3の生徒が問題用紙をもってきて、「最後の問題がさっぱりわからなかったので解説してほしい」と要求がありました。面白い問題なので紹介します。

 大問6: 右の図で、Oは原点、2点ABの座標はそれぞれ(3, 9)、(9,3)です。また、点PQはそれぞれ線分OA、AB上にあり、AP:OP=1:2とします。下の問いに答えなさい。
 問1:四角形POBQが台形となるとき、直線PQの式を求めなさい。
 問2:四角形POBQの面積が△APQの面積の5倍になるとき、点Qの座標を求めなさい。

 このテキストエディタでは図が描けないので、各自描いてみてください。
 質問した生徒は問1は簡単に解いています、問2がどうやったらいいのかさっぱりわからなかったそうです。

 問題を黒板に写しながら、条件を整理します。△AOBの面積は計算可能ですが、計算はせずに攻略の道筋をつけることを優先します。
 条件から△AOBの面積の1/6が△APQです。ではAB上のどこにQ点を取ればいいのかということになります。そこで別の条件との組み合わせをやってみます。AP:PO=1:2ですから、APを底辺とするとAOの1/3、ここまで整理してピンときました。高さが半分になれば△APQの面積は△AOBの1/6になります。
 問題を言い換えると、線分ABの中点座標Qを求めよという問題なのです。そのことに気が付くのは数学のセンスの良い生徒です。この種の問題をやったことがあれば解くのは簡単ですが、初めてのタイプだったら案外解けません。同種問題なら次回以降はこの生徒には楽勝です。初見のタイプの問題にもなんとか工夫して時間内に解き切ってほしいと思います。
 問題を解くカギは問題文に示された条件すべてを利用すること

<3項問題>
 高2の生徒が二項定理の章の予習をやっていました。

   (a+b)^n=nCoa^n + nC1a^(n-1) b + nC2a^(n-2) b^2 + ・・・+ nCra^(n-r)b^r + ・・・+ nCnb^n

 二項定理の問題をやり終わった後に三項問題に進んで質問がありました。公式の利用の仕方がわからないというので、具体的に計算して見せるだけです。

 問: (1+2a-3b)^7  の a^2b^3の項の係数を求めよ

 利用する公式は、
      分子:  n!       a^p b^qc^r
      分母:  p!q!r!
        ・・・p+q+r=n
 この式に代入すればいいだけで、あとは計算力の問題。かっこの中の文字にはそれぞれ係数がついているのでそこだけ注意すればいい。答えはー22680です。

 さて、ここからがお遊び。この公式を四項に拡張できるかと生徒に投げかけました。手間暇はかかりますがやってやれないことはないでしょう。宿題にしました。(a+b+c+d)^5 で試してみたらいいのです。a+b=s、s+d=tとして(s+t)^5を計算し、元に戻してさらに計算すればできます。
 三項の公式を二項に縮小してみたらわかりますが、OKです。

 こういうふうに、上下に「拡張」できるかどうかを「遊び」で確認するのは楽しい。三項の公式は二項でも使えることがすぐにわかります。

 こういう遊びは様々な章で見つかるでしょう。遊んでセンスを磨いてください。
 「これを知る者はこれを好む者に如かず、これを好む者はこれを楽しむ者に如かず」です。


#3530 ヒポクラテスの月形(中3教科書より) Apr. 13, 2017 [52. 数学]


  中3の生徒が配られた教科書を見ていたら面白い問題を見つけたという。「数学の窓」と題して「ヒポクラテスの月形」が194ページに載っていた。数学の歴史への興味を引き立てるにはよい題材だ。
 
 教科書がない人は図を描いて確かめてもらいたい。
 円を描いて、直径を結びその両端をBCとする。半円の円周上の任意の点をAとしてBA、CAを結ぶ。AB、ACを直径とする半円を上のほうに描く。そのときに、ふたつの月形の面積の和が直角三角形ABCの面積に等しくなるが、これを証明せよと書いてあった。

  この生徒は中3の数学はすでに学び終わっており、同じ問題を中1のときにやっている。首都圏の有名私立中高一貫校の中学入試ではヒポクラテスの月形は標準問題である。40年ほど前に東京渋谷駅前の個人指導の進学塾の専任講師をしていた時には、有名私立中学受験生は全員この問題をやっていた。それくらいポピュラーなのである。中高一貫校の先生が作問するから、三平方の定理を使えば簡単に証明できるような問題を中学入試で出題する。だから、鶴亀算、相当算、植木算などの和算の知識のほかに中学数学で出てくる問題で、小学生にも解ける問題は要注意である。

 考えたけど証明がわからないというので、黒板に書いたが、ほんとうは1時間でも考え抜いて理解してもらいたい。こういう良問を独力で考え抜くことが頭脳の発達の滋養になる。

<相手を見て教える>
  学習塾の門たたく生徒は、成績中位で学力を上げたいという生徒たち、学校の授業が理解できないので成績が落ち込んでいる生徒たち、学校の授業は難易度が低すぎて物足りないという生徒たちに大雑把に分類できる。議論の都合上、成績順に第一グループ、第二グループ、第三グループと命名しておく。
 第一グループと第三グループに学校と同じ方式の集団授業は必要がないことは自明だろう。第二グループと第三グループはときに分数や少数の計算の基本に戻って教える必要があるが、学校の授業では小学校で既習済みだからほとんどの先生が授業では教えていない。
(学力テストデータを分析すれば何を教えなければならないかは一目瞭然。点数の分布については実データを弊ブログで何度もとりあげている。)
 どこの個別指導塾でも同じだろうが、ニムオロ塾では生徒一人ひとりを見て、どこが理解できていないのか判断し、必要な解説をしている。あとはひたすら問題演習である。5-10分考えても理解できなければ第一段階ではヒントをあげるだけ。それでも理解できない場合は解説をする。最初から完全解説をしてしまったら結果がよくない。自分で考えることをすぐに投げ出し、先生に質問を繰り返すことになる。そういう癖がついてしまう。毎日やることは癖になるから、悪い癖がつかないような配慮が大切だ。
 第一グループの中学生には高校数学を射程に入れた説明をガンガンやって構わない。難関私立中学受験の生徒たちには、三平方の定理を使った証明を教えてもいいのである。高校生にはヒルベルトの「幾何学基礎論」の概要と現代数学の基本を解説したほうがさまざまな数学的概念や操作の意味の理解が深まる。


幾何学基礎論 (ちくま学芸文庫)

幾何学基礎論 (ちくま学芸文庫)

  • 作者: D. ヒルベルト
  • 出版社/メーカー: 筑摩書房
  • 発売日: 2005/12
  • メディア: 文庫


学問の体系構成や概念の展開に興味があって四〇年前に読んだのはこちらの方。内容は高校数学程度の知識で十分読めます。現代数学の枠組みを知るには不可欠の本です。この本を読んだらゲーデル「不完全性定理」も読みたくなるでしょう。ゲーデルは数理論理学の教科書レベルの知識が必要です。ニムオロ塾の塾生は中二の時に、数学syである藤原正彦「国家の品格」を音読トレーニングで読んでいるので、ゲーデルの不完全性定理の名前だけは知っています。
幾何学基礎論 (1969年)

幾何学基礎論 (1969年)

  • 作者: ヒルベルト
  • 出版社/メーカー: 清水弘文堂書房
  • 発売日: 1969
  • メディア: -



ゲーデル 不完全性定理 (岩波文庫)

ゲーデル 不完全性定理 (岩波文庫)

  • 作者: ゲーデル
  • 出版社/メーカー: 岩波書店
  • 発売日: 2006/09/15
  • メディア: 文庫



#3308 不等式の大小問題:因数分解を見落とさないこと May 31, 2016  [52. 数学]

 根室高校は3年生が今日から、2年生と1年生が明日(6/1)から前期中間テストです。

 生徒が数Ⅱの教科書に載っている問題を片っ端から復讐していました。昨日質問のあった問題の中から、不等式の大小問題を紹介します。計算の苦手な人が正解へ至る道を見落としがちな問題と判断したからです。

 数研出版 数Ⅱ教科書32頁 「補充問題7」
 
 a<b, x<y のとき、  ax+by と bx+ay の大小関係を不等号を用いて表せ

<解答>
 (ax+by)-(bx+ay)=(a-b)x-(a-b)y=(a-b)(x-y)・・・①
  a<bより、 a-b<0  x>yより、 x-y<0 ・・・②
 ①と②より
   (a-b)(x-y)>0
 よって、
  ax+by>bx+ay


  因数分解できるのですが、2乗の項が出てこないので因数分解できないと思い込んでしまうことがあります。思い込みが自在にリセットできたら、数学はずいぶん簡単に感じられるでしょう。

 基本問題なのですから、①のところの因数分解を見逃さなければ大丈夫です。見ただけではダメです、計算問題の苦手な人は書いてたしかめておきましょう。

 これを見逃した人は、1年生のときの因数分解の問題の復習をしておきましょう。引っかかった問題に印がついていれば、それだけをピックアップしてやれば1/20以下の問題数で復習を完了できます。チェックマークがついていなければ、大仕事になるので、これから大学受験まで引っかかった問題にはマークをつけて勉強してください。こういうことは中学1年生のときから習慣にしておくべきことです。やっていなかった人は、いまからでも習慣を改めてください。

      70%       20%      
 日本経済 人気ブログランキング IN順 - 経済ブログ村教育ブログランキング - 教育ブログ村

前の10件 | - 52. 数学 ブログトップ