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#3600 「2次関数複合問題」:便利なツールで興味を広げよう Aug. 29, 2017 [数学]

<更新情報>
8月31日11時10分 最小値に誤りがあり訂正。「香川ベンチスタート?」さんから投稿にがあり気がつく。

  高1の女生徒が7月の進研模試で全国偏差値55(根室高校普通科では偏差値55で学年160人中10番以内に入ってしまう)だったので、学校の問題集では不足だろうとご褒美に「シリウス数A」をあげた。「シリウス数Ⅰ」に2次関数のまとめに使える良問が2ページにわたって掲載されていたので、そのコピーもわたした。改訂新版90-93ページである。
  93ページに複合問題が載っていて、解けないので質問があった。奥が深い問題のようなので転載する。

(4) x,yを変数とするとき、x^2-2xy+2y^2-8y+3 の最小値を求めよ

 この問題は (●x+○y)^2+(y-◇)^2+△ の形に変形すれば、実数の範囲では、 (●x+○y)=0かつ (y-◇)=0 のとき、最小値△であることがわかるのだが、2次関数のおさらいをした直後にこの問題はきつかったようだ。

  f(x,y)=(x-y)^2 + (y-4)^2 +3 -13

  このように変形できるから、 x=y=4 のとき、最小値3 -13をとることがわかる。実数の範囲では2乗の最小値はゼロであることを思いだしたらよい。一度解けばパターンを覚えてしまうから、2度目からは機械的に解ける。

  だが、それだけで終わらせたらもったいない問題だ。
  高1の生徒には無理だが、この2変数関数が2次曲線であることは数Ⅲをやっていたら容易に想像がつく。次に、どのタイプか見当がつけられるだろうか?放物線か楕円か双曲線であるはず。あれこれ計算してみるとわかるが楕円、それも斜めにひしゃげた楕円となるので、どうやら数Ⅲの範囲も超えている。

  興味のある高校生は計算を厭わずにグラフを作図してみたらいい。
  xに0、±1、±2、… と入れてみたら様子が少しわかる。xに数値を入れると与えられた式はyの2次方程式になる。1番目と2番目の数値を代入すると、yは実数解があることが判別式でわかる。-2を代入するとyは虚数解になって作図できない。これらの計算から、xの定義域の左端は-2<x<-1の間にあることがわかる。
 xに10を代入すると yは虚数解となり作図できない。x=9なら yの判別式 D>0 で実数解ありだ。数学に強くなろうと思ったら計算を厭わぬこと。

 HP-35s Scientific Caluculator が使えたら、方程式を入力してxに任意の値を代入してその時のyの解を求めることができる。簡単だからプログラミングしてもいい、習うより慣れよ。Scientific Caluculator を使うと計算時間の節約になる。左端は-1と-2を2分割し、さらに2分割と数回2分割を続けると、どこに境目があるかわかる。バイナリーサーチ (2分木探索)法の応用である。

  高校生用にはもっと便利で簡単なツールがある。フリーソフトの GRAPES だ。このソフトはパソコン上で動くから、「 f(x,y)=(x-y)^2 + (y-4)^2 + 3」 を入力するとソフトが自動描画してくれる。操作は簡単だからやってみたらいい。
  楕円の長軸の両端の座標が (-1, 1) , (9. 7) となっていることが確かめられる。描画を見て見当をつけ計算によってそれを確かめたらいい。
  楕円の中心座標は (4, 4)にある。


 ずいぶん便利になった。こんなことを38年前にコンピュータでやらせようとしたら、機器制御用の科学技術計算専用パソコンとプロッターを使って、自分でプログラミングしなければいけなかった。二つの機器をそろえるだけで当時は400万円かかった。汎用コンピュータを使ったら数千万円。それが十万円のパソコンで、それもフリーソフトで可能になっている。ソフトの開発者、友田勝久さんと堀部和経さんのお二人に感謝。
  53年前にわたしが高校1年生の時にこういうツールがあったら、迷わず数学の勉強にのめり込んでしまっただろう。

  数学の全国偏差値を80以上にしたかったら、GRAPES のような便利なツールを使って興味の範囲を広げるのも一つの方法かもしれない。
 興味がわいたお父さんやお母さんも GRAPES で数学してみたらいかが?きっと楽しいですよ。フリーソフトですから、ダウンロードして自分で使ってみてから子供に薦めたらいい。


* GRAPES
http://www.kn-makkun.com/MakkunWp/grapes.html

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コメント 2

香川ベンチスタート?

最小値の答え、間違ってると思います。

(4) x,yを変数とするとき、x^2-2xy+2y^2-8y+3 の最小値を求めよ

f(x,y)=(x-y)^2+y^2-8y+3
より
f(x,y)=(x-y)^2 + (y-4)^2 -13
よりx=y=4の時、最小値-13
ではないでしょうか?
by 香川ベンチスタート? (2017-08-31 10:26) 

ebisu

「香川ベンチスタート?」さん

ありがとうございます。
ご指摘の通り-13が正解ですので、訂正しておきます。
by ebisu (2017-08-31 11:05) 

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