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#3535 演繹システムをとりあげた理由:正四角錐の頂点の数はいくつ? Apr. 30,2017 [数学四方山話]

  #3433と#3434で、二度にわたって数学の概念の扱いに言及したのは理由がある。ある教育ブログで「正四角錐の頂点は一つ」という記述を見つけたからである。「指導書に書いてある」というのが論拠だった。FBメッセンジャーで議論を何度かしたが、指導書の名前や出版社名やページ数が示されることはなかった。そして議論はまったくかみ合わず、論拠が明示されないので議論そのものをあきらめた。
  議論の過程で、40年前に読んだユークリッド『原論』や森毅著『現代数学とブルバキ』、ヒルベルト『幾何学基礎論』を読み直した。3月に東京へ行ったときに見つけた小島寛之著『論理式の読み方から、ゲーデルの門前まで 証明と論理に強くなる』もついでに読んだ。
  ちゃんとした議論がしたかったので、うろ覚えになっている自分の記憶を整理する必要があった。議論はあきらめたが、せっかくだから弊ブログ上で整理をしてみたというのが、これを含めた三つの小論の意図である。

  わたしの意見では、正四角錐の頂点が1つであるか5つであるかは、数学の定理にかかわる問題である。その定理とはオイラーの多面体定理で、次の等式で示される。

  面の数+頂点の数-辺の数=2

  この等式はすべての多面体でなりたつ。正四角錐では、面の数5、頂点の数5、辺の数8で、この等式を満足するから、正四角錐の頂点の数が1つという主張は、オイラーの多面体定理の否定でもある。
  オイラーの多面体定理は、演繹システムで数学的論証ができる。
  訊いてみたら「正四角錐を錐体としてみたら頂点は一つ」という主張があったが、正四角錐と錐体は概念が異なることは#3534で解説した、後段で再説するが常識的な議論である。類概念とその部分集合は概念としては別物。こういうのを(正四角錐を錐体と置き換えること)を論理のすり替えという。

  「彼の人」の主張に沿って、正四角錐の頂点の数が1つだという命題が正しいケースを考えると、それは別の演繹システムの場合だけ、数理論理学的にはそういうことになる。
  正四角錐の頂点の数が一つが正しい場合は、頂点の定義が異なるかあるいは公理が別というケースが考えられる。

  ユークリッド『原論』の演繹システムの場合は、多角形で頂点の定義がないから、オイラーの多面体定理は、その演繹システム(ユークリッド『原論』)では論証が不可能である。そういう演繹システムがあるのは事実である。
  前二回の弊ブログで整理して取り上げたこういう話がまったく通じなかった。数学の定理や概念を云々するには、数理論理学の知識は不可欠だし、最初の厳密な演繹システムであるユークリッド『原論』やブルバキ『数学原論』はもとより、その間をつなぐ(現代数学の祖)デカルト『方法序説』やペアノの自然数公理、ヒルベルト『数学基礎論』も関係している。議論の前提として、数学史や数理論理学の基礎的な知識は不可欠。

  わたしは2社で統合経営情報系システム開発をユーザー側で担当したことがあり、業界トップクラスのSEと何度か仕事のチャンスがあった。システム専門家と話すときはシステム開発に関する専門用語はもとより、プログラミング、PERT、などさまざまなシステム開発技法に精通しているだけではなく、簿記や原価計算、輸入業務、検査業務などの適用業務の理論と実務についても専門家である必要があった。そうでないとSEともシステムを導入する部門とも話が通じない。
  日本標準臨床検査項目コードの開発の時も同じだった。臨床病理学会項目コード検討委員会の委員長であった櫻林先生に大手六社の検討会議へ出席して議論の方向を束ねていただくには、標準コードや臨床検査についての具体的な専門知識ベースが必要だった。プロジェクトにかかわる複数の専門分野の知識を持たなものはプロジェクトマネジャーの任は担えない。
  慶応大学医学部産婦人科の医師たちとの出生前診断検査の日本標準に関する共同研究プロジェクトでも、米国から取り寄せた資料を読み、必要な人材をラボからピックアップして、プログラミング仕様書を書くという作業が前段にあった。英文で書かれた学術論文のデータから、曲線回帰分析をしなければプログラミング仕様に必要な方程式が算出できないから、統計の専門知識やプログラミング仕様書を書く技能がなければできない仕事だった。沖縄米軍からの依頼でトリプルマーカMoM値検査の導入というプロジェクトが前段にあったのである。
  どの仕事も、相手の専門用語での議論が不可欠だった。専門用語での会話は誤解がほとんど生じないから、メリットが大きいのである。
  数学の概念を議論するには、数理論理学の基礎知識が欠かせないことはこれらの事例から類推していただけるだろう。
(わたしはたまたま仕事の運がよかった。仕事に理解のある担当役員や社長がいて任せてくれたから、獲得した様々な専門知識とスキルを仕事で磨けた。感謝している。)

  公理系が違えば同じ名前の概念でも定義も異なることがある。三角形の内角の和が180度というのは平面幾何学でいえることで、球面幾何学という別の公理系では三角形の内角の和が180度より大きくなる。自然数の定義も中学校や高校ではゼロを含まないが、現代数学の自然数の定義はゼロを含むということを議論の中で演繹システムが異なれば定義も異なる具体例として挙げた。
  数理論理学では、数学的帰納法との関係で、自然数は厳密に扱わなければならない。ペアノの自然数公理やラッセルの自然数PM(プリンキピア・マティマティカ)では、ゼロを自然数の出発点としている。自然数は現代数学で演繹システムとして厳密に定義されたということ。
  数学的帰納法が指導項目に入ってこない小学校や中学校では、そういう厳密な自然数の定義は教える必要がないから、カットされているだけのこと。だから、小中学校では自然数は「正の整数」でゼロを含まないということになっている。高校数学では数学的帰納法の説明が出てくるが、自然数の厳密な定義はなされないから、高校でも自然数は1から始まる、つまり正の整数=自然数という定義である。整合性を保つために、数学的帰納法では出発点 のnがゼロのケースは扱われない。学校教育では、こうした素朴な自然数定義で十分。
 繰り返すが、学校教育で扱う数学では、小学校でも中学校でも、自然数はゼロを含まない。中1の教科書にも載っている。
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たとえば、整数には、正の整数、0、負の整数がある。正の整数を自然数という。
   『新しい教科書1』東京書籍 10ページ
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  「彼の人」の4月27日付ブログでは、中学数学ではゼロを自然数にカウントしているととれる記述があるが、わたしにはその説明自体もまったく理解できない。自然数はゼロから始まるから、3の倍数にゼロが入るという説明も肯けない。教科書には(上述に見たように)自然数は整数の部分集合だという内容の説明が書かれており、自然数と整数が「完全に一線を画す」なんてことはないのである。
 
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 学校では「自然数に0が入らない」というふうに「整数」と完全に一線を画すように教えている以上、nに0が入ると非常に都合が悪い。そこで、「n=自然数」について勘違いが起きないように「個数」と「順位」の2つ用意している、ということなんです。」

*教育時事問題ブログ
http://www002.upp.so-net.ne.jp/singakukouza/jijimonndai.html#Anchor-10773
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<参考>大辞林より
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類概念:二つの概念が従属関係にある場合、上位の概念をいう。たとえば、「日本人の男」に対する「日本人」「日本人」に対する「人間」。類
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  整数が負の整数、ゼロ、正の整数(自然数)から構成され、自然数が整数の真部分集合だということも、整数がこれら三つの部分集合を束ねる類概念だということも理解できていないようにわたしには見える。そのことは正四角錐と錐体の概念の関係にも共通している。「彼の人」は正四角錐と錐体のところでも概念構造(類概念とその下位概念)を理解できなかった。#3534で大辞林から引用して具体例で説明したが、普通の人に理解できることが自説にこだわると理解できなくなる、そういう癖があるようだ。


  自然数をnで表すことはあるが、整数をnで表す例を「彼の人」が解説している。そこで整数と自然数の混乱が生じているが、整数をnで表す例をわたしは寡聞にして知らない。引用した文の前後をご覧いただけば用語の混乱ぶりがわかる。
  整数は高校数学ではZで表すが、それは ganze Zahl というドイツ語から来ている。自然数は natural number という英語の翻訳であるが整数はZを使うのが日本の数学の習慣で、ドイツ語由来なのだ。そんなことを知らないはずがないからうっかりしたのだろう。そういうわけで、主張に無理がある。
(証明問題で「m,nを任意の整数とする」というような記述があるが、mもnも異なる任意の整数を代表する単なる記号で、このnをnatural number の n のことだと誤解するような人はいないだろう。m,nが整数だと宣言しているのだから。参考書や問題集に整数をnで表していても、同様の理由でnatural numberのnではない。)

  正四角錐の頂点が一つであるという記事を再検索してみたが、見つからなかった。自分の論が正論だと信じて疑ってないので削除はしていないだろうから、興味がある人は、「彼の人」の過去ログを丹念に読まれたらいい。きっと見つかります。
(ありました。「彼の人」のブログの「算数・数学のセンス」のディレクトリの「知識と指導力」2017/03/04です。http://www002.upp.so-net.ne.jp/singakukouza/mathsence.html…5/4追記)

  意見の違いはあっていいのです、どこまでも平行線でもいい。その都度、必要な論拠の提示があれば役に立つことがありますが、論拠の提示や合理的推論のない議論は無意味ということ。
  現代数学ももちろん論拠の提示や合理的推論、演繹的論証に基づき議論がなされています。ゲーデル著・林晋訳『不完全性定理』(岩波文庫)の「解説」p.87-275をお読みください。無限集合をめぐる議論と自然数の定義の関係やヒルベルト計画とその破綻、多くの数学者が興味のある議論をしています。
  中高生の皆さんは受験数学の範囲を超えて学問自体に好奇心を広げてください。時間をかければすこしずつわかってきます。


*「塾の功罪と地域の意識」ブログ情熱空間
  コメントが15本あります。人の意見の多様なことよ、だから意見の異なる人と論拠を明確にして真摯に議論する必要があるのではないでしょうか。
http://blog.livedoor.jp/jounetsu_kuukan/archives/8817809.html

*#3536 すごい成果をあげた生徒:入塾五か月で英数二科目学年トップ May 3, 2017

http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-05-03


*#3533 自然数の定義を巡って:言語・公理・推論規則 Apr. 26, 2017 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-04-26

 #3534 円錐と角錐の頂点の数を巡って:定義・公理・定理 Apr. 26, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-04-26-1

 #3535 演繹システムをとりあげた理由:正四角錐の頂点の数はいくつ? Apr. 30,2017 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-04-30

 #3538 ∀n [ n≧3⇒∀x∀y∀z ¬(x^n+y^n+z^n] May 7, 2017 
 #3446 信頼の喪失と回復(自然数の英語名は?)  Nov. 1, 2016

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ZAPPER

考え方、ものごとの捉え方を「ニュートラル」に保つのは案外難しいことなのだろう。そのことを再び想いました。
by ZAPPER (2017-05-02 10:15) 

ebisu

ZAPPERさん

普通の人には簡単なことなんですが、ある種の人には「案外難しいこと」なんでしょう。

世の中には自分の意見とは異なる意見もあることが認められないご様子。それでは意見の異なる人と対話ができません。
退職校長によくあるタイプ、一種の「先生病」でしょう。
by ebisu (2017-05-02 22:22) 

ebisu

学校通信で文武両道を具体例で三年間発信し続けたC中学校校長のSさんは生徒の学力向上に顕著な成果を上げ、一昨年退職された。A中学校、根室高校の数年後輩にあたるが、学校通信の文面を見る限り、「先生病」とは無縁である。同じ学区内の小学校とも先生たちの定期的なコミュニケーションを重ねていた。荒れたC中学校に赴任してきて一生懸命に仕事をしていた。

友人の兄であり2年先輩のYさんは、柏陵中学校と光洋中学校の校長を務めた後退職した。剣道五段、この人も偉ぶらない。

「先生病」にかかるのはごく一部の人。
by ebisu (2017-05-03 12:40) 

後志のおじさん

お疲れさまでした。

貴ブログ#3013のような、ずらしやすり替えが連続したのでしょうね。手に取るようにわかります。

#3009(103)の私の言葉は、「彼の人」に宛てたものだったのですが(文末焦点などを持ち出してきた時点で、彼の人は英語が読めないことはわかっていましたから。)ご本人は「自分はなんでもわかっている」とかたく信じておいでなので、自分に宛てたものとは気づかなかったようです。

どうしてここまで自分の能力を過大評価できるのか?

全く不思議な方です。

by 後志のおじさん (2017-05-03 22:19) 

ebisu

後志のおじさんへ
お久しぶりでした。

過去ログを読み返してみました。
弊ブログへの投稿は不特定多数の人が読むので、「彼の人」は本性を隠して猫をかぶっています。(笑)

すり替えやズラシが頻出するのは癖ですね。それにしても、どうして自分を絶対化できるのか不思議です。
#3013や#3009にあるように、自分の頭の中では妙な理屈が組上がっているようです。「彼の人」のコメントを読み直してみましたが、自分の頭で考えた理屈が先行しずぎ。もっと広く勉強していればああいうことにはならない。
数学でも同じだった。世の中で正しいのは自分の理屈のみ、他は全部間違い、全面否定が続いただけ。論拠があればまだしも、議論としては不毛で、後味の悪いものでした。
でも、わたしのほうは収穫がありました。40年前に読んだ本を数冊読み直して、整理がつきました。お陰さまで新し本も2冊読みました。ライフワークの「21世紀の新しい経済学」に数学のほうから学術的な解説がつけられそうです。その点では「彼の人」に感謝です。

後志のおじさんはずいぶん前に見抜いていたのですね。

ところで、そろそろ懸案になっている『プロ倫』、始めましょうか連休明けくらいに投稿できるようにしておきます。
やりかたは、やりながら決めていきましょう。
by ebisu (2017-05-03 23:30) 

後志のおじさん

すみません。Weber ですが、今月20日頃まで待って頂けますか?

第二次朝鮮戦争勃発の可能性が極めて高い今、ちょっと目が離せないもので。

次の山は5月9日の南高麗大統領選挙あたりですが、民主党に北朝鮮からの指令暗号がうたれていたり、軍部クーデターの動きもあり、大陸中国やロシアの動きも微妙なところですので。

私は、家族には5月20日までは都心に近づかないよう、少なくともラッシュアワーには地下鉄には乗らないよう指示を出しました。父ちゃんの外交読みは過去にいくつも当たっているので素直に聞いています。

緊迫しています。

by 後志のおじさん (2017-05-05 22:38) 

ZAPPER

ebisuさん
男性更年期じゃないの?
大丈夫?
とちょっと前に聞いてみましたが…。
「大丈夫」と言っていましたが、ここのところ少々心配しております。

後志のおじさん
私も、南朝鮮大統領選後に「ことが始まる」と睨んでおります。
トランプさん、中国にもロシアにも手を引く確約を取り付けましたし、ことが始まったなら半島の大混乱は想定内のはずです。
第二次朝鮮戦争後の極東の安全保障を考えたなら、日本との同盟強化こそは絶対に外せないし、敗戦後の「北の処理」は中国とロシアに任せるとの腹づもり(裏取引)なのだろうと思います。
歴代大統領の多くがことごとく逮捕されるような三等国家は、アメリカの国益にために踏み台にしてよろしい。
同国大企業(多国籍企業)は、既にアメリカ資本家が吸い尽くしたわけだし。
との判断。
そのように読んでおります。
by ZAPPER (2017-05-05 23:19) 

ebisu

後志のおじさん

中露と話をつけたところを見ると、どうやら米国は本気のようですね。

weberは6月にしましょう。
by ebisu (2017-05-06 00:01) 

ebisu

ZAPPERさん

そうか、更年期障害か、そうかもしれません。
ふわふわした感じはスキルス胃癌の術後からときどきでています。感じでは低血糖症状。
血圧が50-90、これは11年前に手術をしてからずっとそうです。
動機は2年ほど前に時々ありました。体が急に熱くなり動悸が速くなって心臓がもたない感じのことが何度かありましたが、そういう症状はなくなっています。

心配してくれてありがとう。
このまま症状が治まらないようなら、主治医に相談してみます。きっとよい治療を考えてくれるでしょう。
わたしは痛みのない生活がしたい。(笑)
by ebisu (2017-05-06 00:15) 

後志のおじさん

ebisu さん

見事な「ずらし」で、大事なところは、丸く納めましたね。(笑)


zapper さん

Moonが選挙で勝利。→ミサイル基地、核開発施設、政府中枢への攻撃→南高麗への軍事行動と日本や米国に対するVX ガス(わかりやすくいうとサリン)などのテロ→北高麗の「かね」独裁体制は崩壊し、中ロの出先国家ができる。

米国は、攻撃の代償として北による南の支配を認めている。

私のよみです。

by 後志のおじさん (2017-05-06 08:53) 

ebisu

後志のおじさん

ははは、わかりきったことは言わぬが花。
by ebisu (2017-05-06 09:11) 

ebisu

NHKで昨日、男性更年期の特番をやっていた。4つのチェック項目があげられていたが、どれも該当しなかった。68歳だから、男性更年期があったとしてもその時期は過ぎていると考えるのが妥当なようだ。
自覚のないままにそういう時期は過ぎていたのか。

そうしてみるとこの3か月ほどの体調不良は、老化によって体がポンコツかしているサインなのだろう。
決定的にポンコツとなる前に、おさらばしたい。
それまでは少数の根室っ子たちの学習意欲に応えたい
今日も数学と英語のブラッシュアップを楽しむ。

ケセラセラ。
by ebisu (2017-05-10 08:38) 

後志のおじさん

Weber を読む前に、前提であるマイスターを再確認しようと、阿部謹也先生の著作を読み返すなかで「中世を旅する人々」を改めて読んでみると昔は気づかなかったWeber の視点に関する仮説が思い浮かんでしまい苦慮しています。

阿部先生は、ご自分の著作の中でも折に触れて「更なる研究が必要」と書かれていますので著作の中の事例が全てではないとします。
が、中世末期、プロテスタント成立前に、マイスター制度の元では一人前の業を身に付けるに至った「人材」の受け皿が社会的に存在せず、19世紀型の工業資本主義下での生産過程がそうした人材の受け皿になったに過ぎないのではないか?という、余りに大胆な仮説が思い浮かんでしまい、身動きが取れなくなりました。

プロ倫ドイツ語版も入手しました。が、しばらくドイツ語から遠ざかっていたのでボロボロですね。「彼の人」が英語を読むレベルよりは遥かにましですが、スピードが全然無くなっています。

自分でもまとめきれないのでとらえどころのない文となりました。ebisu さんの研究の中に何か活かせるもの、或いはテーマの匂いがありましたら指摘して下さい。

泥沼に足を捕られている、そんな感触です。
by 後志のおじさん (2017-07-07 23:19) 

ebisu

史実としてどうであったかは、阿部謹也先生のような西洋経済史家に任せるほかありません。

工場長や幹部職員として、読み書きができて、なんらかの専門スキルがあり、そしてマネジメントのできる人材が工場経営に不可欠であることは『プロ倫』に書いてあります。
そういう人材は当時の経済社会ではマイスター制度でトレーニングを受けた者たちしか存在しなかったか、あるいは圧倒的にマイスター制度で育った者たちだったとうことではないでしょうか。わたしたちの議論はそこから出発していいのではないでしょうか。

親がマイスターなら、それを継承することができますが、多くはそうではなかった。独立起業するのはいまよりずっと困難だったでしょう。他のマイスターのもとで働かざるを得なかった。当然収入面では大きな期待ができません。
工場の幹部職員への採用は収入の面でマイスターとして独立するよりもずっと魅力的だったのでしょう。共同経営者への道も開けるのですから。この辺りも『プロ倫』に書いてありました。

19世紀の米国や日本の状況と比較すると面白いことになります。ドイツの特殊事情が浮かび上がります。それと対比することでたぶん米国の奴隷解放の役割と米国資本主義の特徴も。もちろん、国民の7割以上が「読み書きそろばん」能力のあった日本の特殊性も鮮明になります。

マルクスは熟練労働を捨象していますから、マイスターの理解はマルクス経済学を崩す一つのファクターです。
何らかの専門スキルをもち、マネジメントのできる人材なしには工場経営は不可能です。現実の経営という側面がマルクスの視点からは抜け落ちています。
ウェーバーの魅力の一つはマイスター制度に光を当てていることです。

議論していくうちに、いろいろなものが見えてくることになるでしょう。

by ebisu (2017-07-08 09:54) 

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