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#3509 数学のセンス(2):「同型性」と「拡張」⇒どのように考えるのか Feb. 19, 2017 [数学のセンス]

 「#3507 数学のセンス(1)」で、美意識感動する心センスを磨くと書きました。11-19までの数の平方数に隠された神秘的ともいえる「数字の美しい配列と構造」を例にとって説明しました。
 2回目である今回は成績上位の中2の生徒へ実際にやっている指導上の留意点を書きます。

 定期テストと学力テストすべてで学年トップを獲り続けているこの生徒は中3の数学の全部の章をやり終え、総合問題をやっています。ちょうど1年先取り学習していますが、難関大学受験を予定しているからで、高校2年の夏休みころまでに数Ⅲ終了の戦略の下に学習を進めているからです。首都圏の進学校とほぼ同等の進捗度合いです。
  英語は5月ころから9ヶ月をかけて高校3年間の教科書を消化します。並行して中級レベルの文法問題集を1冊やります。高校1年になったらテクストは(2次試験対策をかねて)英字新聞記事を読み漁ります。
  一番大事と考えているのは国語、これは読書量がモノを言うので、生徒の読書力の成長に合わせて良質と考える本を選んで音読指導を3年間続けています。10冊は読んだかな。弊ブログのどこかで読み終えたリストとこれからの予定を載せています。現在進行形なのが斉藤隆著『語彙力こそが教養である』、そして次回は福沢諭吉著『福翁自伝』、世阿弥著・林望現代語訳『すらすら読める風姿花伝』です。
○音読リストを載せた弊ブログ「#3405 原典のススメ:愛と寛容性概念の混同(中2学力テストから) Sep. 2, 2016 」
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2016-09-01

 数学と英語を教えながら、「読み・書き・そろばん(計算)」という基礎技能の充実を図り、受験勉強を超えて、学問の普遍的な方法を伝えています。

 「憶えるよりも考える」
 「迷ったときは原理原則に還る」
 「複雑な問題に遭遇したら、必要なだけの小部分に分割する」
⇒デカルト『方法序説』より

 この三項目は名刺の裏に印刷してあり、塾生に机の周りのどこかに張っておけと指示しています。「憶えるよりも考える」と言ってもどのように考えたらよいのかを具体的な問題の中で説明しなければ、伝わりません。そのためにこれから解説する四項目に留意しながら指導をしていますどのように考えたらよいのかという試みがこれら四項目にこめられています

 さて、前置きはこれくらいにして、ここから本題です。成績上位生対象の授業は自力で予習させて足りないところだけを解説、演習中心の授業を展開し、4つの点に留意して質問に答えながら指導しています。

(1)同型性について
 「①距離・②時間・③速さ」、「①食塩・②食塩水・③濃度」、「①合計・②人数・③平均」の三種類の文章題はじつは計算式がすべて同型です。各項目を記号として眺めると計算式は同じになります。仮に①をp、②をq、③をrとすると、これらの項目には次の関係式が成り立ちます。

 p=qr
  q=p/r
  r=p/q

  pとqは加法が成り立ちますがrは内包量ですので加法が成り立ちません。この三種類の問題は同じ表に問題文の条件を入力することで簡単に式が作れます。線分図やポンチ絵と併用してもらうと威力が倍増します。

     a   b   c
距離D   
時間T   
速度V   
   a   b   c
  p   
  q   
  r   


 異質に見える問題の背景に同型性があることがわかれば、憶えるべき公式は一つですみます。少ない公式で種類の異なる問題を解く、こういうトレーニングを積み重ねることで、異質な分野に同型性があることを発見できるようになります。分野が違っても共通の操作はあちこちに出てくるので、自分でリンクを張るようになります。
 わたしはユークリッドの『原論』とマルクス『資本論』に体系的同型性を見つけました。デカルトも『方法序説』で「科学の方法四つの規則」で同じことを述べています。あとで抜粋引用します。


(2)概念、フィールド、公式などの拡張
 数学ではしばしばさまざまな概念の「拡張」が行われます。
 数に関しては自然数の加法・減法と乗除算が定義されます。次いで、自然数から分数へと数の概念の拡張が行われます。これらは小学生段階ですが、中学生になると整数概念が定義され自然数は「正の整数」、ゼロ、「負の整数」が定義されます。このように数の概念の拡張が行われます。中3になると無理数が定義され、数は有理数の範囲から実数へと拡張されます。高校2年で虚数が導入され、数の概念は複素数へと拡大します。それだけではありません、数列が出てくると、有限数列から無限数列へと対象が拡張されます。
 座標をみるとxyで定義された平面座標(デカルト平面)が現れ、ついでもう一つ座標軸が追加されて空間座標が定義されます。数Bのベクトルではベクトル平面とベクトル空間が、数Ⅲでは複素平面と極形式が定義されます。このように座標平面も拡張が次々に行われます。
 三角比(数Ⅰ)は三角関数(数Ⅱ)へ拡張されます。
 1次関数⇒2次関数⇒n次関数への拡張、そして系列の異なる指数関数、対数関数へと拡張されていきます。無理関数や分数関数へも拡張がなされ、逆関数が定義されます。
 n次関数の微分と積分が定義され、数Ⅲでは三角関数や指数関数、対数関数へと拡張されます。
 拡張されるたびにそれぞれで類似の操作をトレーニングすることになります。
 たとえば、三角形の面積は四つの式で書き表せますが、それぞれが関連しています。

 ○ 1/2×底辺×高さ
 ○ 1/2×b×c×sinA
 ○ √s(s-a)(s-b)(s-c)
  ○ 1/2×|a vector|×|b vector|×sinθ
 ○ 1/2×|axby-bxay

  三角比を習えばそれを利用した三角形の面積の公式が出てきます。基本はもちろん一番目に挙げたものですが、三角比を利用して定義します。
 平面上、三角比、ヘロンの公式(三角比からの派生公式)、ベクトル、平面座標(ベクトルからの派生公式)。三角形の面積だけでもこれだけ奥行きがあります。数学の世界が広がっていくのは、楽しいことです。

 中高の数学は概念の拡張が次々になされていきますから、概念が拡張されると何が起きるのか、類似の操作や公式の定義のし直しがなされることが体験的に理解できていきます。
 「拡張」を意識して数学を学ぶと、森全体が見わたせるので自分がいま何をやっているのかがよくわかります。こういう過程を通して概念の拡張やフィールドが変わることによる数学的操作の焼き直しを学ぶことで数学への理解が深いものになります。
 中高で学ぶ数学の構造はあんがいシンプルなものの繰り返しなのです。

 たとえば、三平方の定理(中3)のところで、フェルマーの最終定理を解説します。そこで生徒と遊びます。

  X^n+y^n=z^n

 n=2のときが三平方の定理です。xyzが整数になる組み合わせは無限にあります。生徒たちにやらせてみたらいい。4例を探させてみたらいかが?
 三平方の定理もこういう一般式の「n=2」の特殊なケースだということがわかります。「一般⇔特殊⇔個別という整理も自然にできるようになります。
 n=2のときは無数に自然数の組み合わせがありますが、ではn=3,4,5・・・のときに自然数の解はあるのかという疑問がわくのは自然な流れです。これも拡張のひとつの例でしょう。
 nが3以上だと(x,y,z)の自然数の解は存在しないというのがフェルマーの最終定理ですが、1995年2月13日にようやく証明されました。世界中の数学者がチャレンジして360年かかってシンプルなフェルマーの最終定理が証明されたのです。アンドリュー・ワイルズが成し遂げました。

 弊ブログ#3437でフェルマーの最終定理の証明と経済学の関連について言及しています。

*#3436 フェルマーの最終定理と経済学(序):数遊び  Oct. 13, 2016
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2016-10-12-1

 #3437 フェルマーの最終定理と経済学(1):純粋科学と経験科学 Oct. 15, 2016
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2016-10-15

 #3438 フェルマーの最終定理と経済学(2):不完全性定理と経済学 Oct. 18, 2016 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2016-10-17


 #3439 フェルマーの最終定理と経済学(3):整理作業-1 Oct. 19, 2016
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2016-10-18

 マルクスも『資本論』でフィールド(場)の拡張という体系構成にとって不可欠の操作をしています。「資本論と21世紀の経済学」というカテゴリーにまとめてあります。経済学に興味のある方はそちらを参照ください。

(3)必要なだけの小部分に分解せよ
 同型性とさまざまな数学的な概念の拡張について思うところを述べました。デカルト『方法序説』から、科学の方法四つの規則について引用しておきたいと思います。高校生や大学生のみなさんは何度も読んでください。
 受験には複合問題が出題されます、2分野は標準問題、3分野の複合問題は難易度が高くなりますが、2分野は2つに3分野の複合問題は3つに分解するとシンプルな問題になります。
==========================
<デカルト 科学の四つの規則>まだ若かった頃(ラ・フェーレシュ学院時代)、哲学の諸部門のうちでは論理学を、数学のうちでは幾何学者の解析と代数を、少し熱心に学んだ。この三つの技術ないし学問は、わたしの計画にきっと何か力を与えてくれると思われたのだ。しかし、それらを検討して次のことに気がついた。ます論理学は、その三段論法も他の大部分の教則も、道のことを学ぶのに役立つのではなく、むしろ、既知のことを他人に説明したり、そればかりか、ルルスの術のように、知らないことを何の判断も加えず語るのに役立つだけだ。実際、論理学は、いかにも真実で有益なたくさんの規則を含んではいるが、なかには有害だったり、余計だったりするものが多くまじっていて、それらを選り分けるのは、まだ、下削りもしていない大理石の塊からダイアナやミネルヴァの像を彫り出すのと同じくらい難しい。次に古代人の解析と現代人の代数は、両者とも、ひどく抽象的で何の役にも立たないことだけに用いられている。そのうえ解析はつねに図形の考に縛りつけられているので、知性を働かせると、想像力をひどく疲れさせてしまう。そして代数では、ある種の規則とある種の記号にやたらとらわれてきたので、精神を培う学問どころか、かえって、精神を混乱に陥れる、錯雑で不明瞭な術になってしまった。以上の理由でわたしは、この三つの学問(代数学・幾何学・論理学)の長所を含みながら、その欠点を免れている何か他の方法を探究しなければと考えた。法律の数がやたらに多いと、しばしば悪徳に口実を与えるので、国家は、ごくわずかの法律が遵守されるときのほうがずっとよく統治される。同じように、論理学を構成しているおびただしい規則の代わりに、一度たりともそれから外れまいという、堅い不変の決心をするなら、次の四つの規則で十分だと信じた 第一は、わたしが明証的に真であると認めるのでなければ、どんなことも真として受け入れないことだった。言い換えれば、注意ぶかく速断と偏見を避けること、そして疑いをさしはさむ余地のまったくないほど明晰かつ判明に精神に現れるもの以外は、なにもわたしの判断の中に含めないこと。 第二は、わたしが検討する難問の一つ一つを、できるだけ多くの、しかも問題をよりよく解くために必要なだけの小部分に分割すること。 第三に、わたしの思考を順序に従って導くこと。そこでは、もっとも単純でもっとも認識しやすいものから始めて、少しずつ、階段を昇るようにして、もっとも複雑なものの認識まで昇っていき、自然のままでは互いに前後の順序がつかないものの間にさえも順序を想定して進むこと。
 そして最後は、すべての場合に、完全な枚挙と全体にわたる見直しをして、なにも見落とさなかったと確信すること。
 きわめて単純で容易な、推論の長い連鎖は、幾何学者たちがつねづね用いてどんなに難しい証明も完成する。それはわたしたちに次のことを思い描く機会をあたえてくれた。人間が認識しうるすべてのことがらは、同じやり方でつながり合っている、真でないいかなるものも真として受け入れることなく、一つのことから他のことを演繹するのに必要な順序をつねに守りさえすれば、どんなに遠く離れたものにも結局は到達できるし、どんなにはなれたものでも発見できる、と。それに、どれから始めるべきかを探すのに、わたしはたいして苦労しなかった。もっとも単純で、もっとも認識しやすいものから始めるべきだとすでに知っていたからだ。そしてそれまで学問で真理を探究してきたすべての人々のうちで、何らかの証明(つまり、いくつかの確実で明証的な論拠)を見出したのは数学者だけであったことを考えて、わたしはこれらの数学者が検討したのと同じ問題から始めるべきだと少しも疑わなかった
  デカルト『方法序説』 p.27(ワイド版岩波文庫180 *重要な語と文章は、要点を見やすくするため四角い枠で囲むかアンダーラインを引いた。


==========================

(4)単純なものから複雑なものへ=順序の想定
 より単純なものから複雑なものへという順序を想定することは知識の整理にとって大切なことです。科学の方法四つの規則の第三がそうした方法(=上向法)を示唆しています。学問においてはもっとも大事なことなのですが、これはまた別の機会に書きます。
 「資本論と21世紀の経済学」というカテゴリーが弊ブログにありますが、経済学に関してはそこに書き溜めてあります。

 生徒から質問のある都度、こうした4つの観点から具体的に繰り返し説明しています。数学を通じて、普遍的な学問のやり方を教えているつもりです。
 数学は他のさまざまな学問に深く関わっています。成績上位生は数学の勉強を通じて学問全般に視野を広げる努力をしてください。


〈 余談 〉
 #3507投稿欄から(加筆しています)
==================
40年ほど前に、東京のF学院渋谷進学教室で教えていたときのことなのですが、四谷大塚で全国2位の生徒が入塾してきたことがありました。Y武先生が担当したのですが、問題消化速度が大きくて教え切れないので変わってほしいと言われて、交代したことがあります。
その生徒の母親からの「要望で400ページ弱の文章題専用問題集を使いました。
なるほど速い、105分の授業で20ページほどやれるんです。質問が時々出るので、どういう問題で質問がでるか2回観察しました。新傾向問題で急ブレーキがかかります。他の問題はほんとうに高速でした。わたしとほとんど変わらぬ速度で解いていました。
要するに、パターンで解ける問題がものすごく速かったのです。それが通用しない新傾向問題のところで3題に2題の割合でブレーキがかかり質問が出ました。
2ヶ月ほどで1冊やりきりました。あんなに高速でさまざまなパターン解法を駆使できる生徒はなかなかいません。さすが全国2位です。

わたしの感想は、「頭はあまりよい方ではない」というものでした。パターン練習のやりすぎで、頭が固くなってしまっているように見えました、もったいない。
四谷大塚の模試で全国ナンバー2でしたから、東大へは入学できたでしょう。
珠算実務検定試験1級の問題を制限時間の半分の5分でやるのと変わりません。そういう意味で受験の芸に秀でていました。

速度が大きいことは実社会でも武器になりますが、それだけのことです。標準レベルの難易度の仕事をさせたら抜群に生産性が高いでしょう。しかし大事なのはいままで出遭ったことのない複合分野の問題を解決できるかどうかということです。

小2の息子さんが、二桁の自然数の2乗の計算を工夫して答えを出す、つまりは「遊び」、どれほど楽しく遊んだかが計算の仕組みを理解させ、数学のセンスや創造性を育みます。
道草が必要なんです。直線的なのは考えもので、原野をゆったり流れる川のように蛇行しながら流れていけばいいのです。
by ebisu (2017-02-17 22:53) 
==================

*#3507 数学のセンス(1):数字に表れる美への感動がセンスを育てる Feb. 16, 2017 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-15-1

 #3509 数学のセンス(2):「同型性」と「拡張」⇒どのように考えるのか Feb. 19, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-19

 #3511 数学のセンス(3):授業時間数減少、数量、平面図形 Feb. 24, 2017 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-23

 #3512 数学のセンス(4):空間図形 イメージ操作 Feb. 26, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-26


〈 音読リスト:#3405より 〉
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< 国語力アップのための音読トレーニング >
 中2のトップクラスのある生徒の国語力を上げるために、いままで音読指導をしてきた。読んだ本のリストを書き出してみると、
○『声に出して読みたい日本語』
○『声に出して読みたい日本語②』
○『坊ちゃん』夏目漱石
○『羅生門』芥川龍之介
○『走れメロス』太宰治
○『銀河鉄道の夜』宮沢賢治
 『五重塔』幸田露伴
 『山月記』中島敦
●『読書力』斉藤隆
●『国家の品格』藤原正彦
 『日本人は何を考えてきたのか』斉藤隆
 『語彙力こそが教養である』斉藤隆 ⇒現在音読中、2017年3月中旬読了予定

 これから読むものをどうしようかいま考えている。
●『すらすら読める風姿花伝・原文対訳』世阿弥著・林望現代語訳
 『福翁自伝』福沢諭吉
 『善の研究』西田幾多郎
 『古寺巡礼』和辻哲郎
 『風土』和辻哲郎
 『司馬遼太郎対話選集2 日本語の本質』文春文庫
 『伊勢物語』

(○印は、ふつうの学力の小学生と中学生の一部の音読トレーニング教材として使用していた。●印の本はふつうの学力の中学生の音読トレーニング教材として授業で十数年使用した実績がある。音読トレーニング授業はボランティアで実施、ずっと強制だったが2年前から希望者のみに限定している。)
・・・
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「#3405 原典のススメ:愛と寛容性概念の混同(中2学力テストから) Sep. 2, 2016 」
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2016-09-01



*#3507 数学のセンス(1):数字に表れる美への感動がセンスを育てる Feb. 16, 2017 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-15-1

 #3509 数学のセンス(2):「同型性」と「拡張」⇒どのように考えるのか Feb. 19, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-19

 #3511 数学のセンス(3):授業時間数減少、数量、平面図形 Feb. 24, 2017 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-23

 #3512 数学のセンス(4):空間図形 イメージ操作 Feb. 26, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-02-26

 #3514 数学のセンス(5):空間図形と論理的思考 Mar. 2, 2017
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2017-03-02





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後志のおじさん

デカルトの科学の4つの規則の、「最後に」が最も検証が困難なステージでしょうね。「全ての場合に、完全な枚挙を見直しして」

私は、自分には不可能であると自覚しておりますので「仮説と検証」(こうかな?と思ったら、妥当する例を集めて反例があれば持論を修正)という「生き方」をしております。


本論に戻りまして、「センス」(感覚)なるものですが、本物に数多く触れることで養われるものです。(ちょっと楽しみがあるので、今日はここまでにしておきます。)



by 後志のおじさん (2017-02-22 23:33) 

ebisu

後志のおじさん

四番目の工程はマルクスの場合は『資本論』で見事に失敗しています。いや、方法論(弁証法)の根本的な欠陥に気がついたのでしょうが、手の施しようがなく、それ以降沈黙せざるをえなかった。気がつかぬ者がほとんどですから、とっても優秀だったのです。マルクス経済学者はあまたいますが、どなたも気がついていません。
晩年のマルクスは気の毒です。

本物に触れることがセンスを磨くというのは分野を超えた真実。音楽、絵画、彫刻、学問。
とくに学問はそれぞれの分野の古典といわれるものを虚心に読むべき。他の人が解釈した本を読んでからだと、もう見えないというのがほんとうのところ。絵画を見るのに本物を見ずに写真で見るようなものです。

幅の広い議論になりそうですね、投稿楽しみにしています。

by ebisu (2017-02-23 09:45) 

後志のおじさん

自慢話になりかねないのですが、我が家は異次元「センス」の集合体です。

カミサン。
絶対音感の持ち主。幼児期からやっていたピアノの音質を、「自分の理想とする音質」に転換するために2年間スケール(音階)練習だけをやった。

娘。
どんな時でも、思いどおりのラインがだせるようにするために、画用紙だけでなく、いろんな紙質の紙に、クレヨンからボールペン、毛筆、何度も何度もやっていた。

私。
言葉なら、なんでも楽しめる。トレーニング内容はebisu さんご承知のとおり。


何が「自分にとっての本物」に向かう原動力になるのでしょうか?私自身よくわかりません。(笑)

三人とも、いちおうその道で金を稼げるレベルではあるのですが、金を目的にセンスを磨いたわけではないのです。

センスを磨くモチベーションを持たせ、維持させることのできる人が本物の「指導者」なのでしょうね。







by 後志のおじさん (2017-02-24 23:46) 

ebisu

後志のおじさん

自慢話に聞こえるかどうかは受け手のこころの問題でしょう。
ユニークですね。
奥さんの絶対音感はもって生まれたもの、それに独自の工夫とトレーニングで磨きをかけた。そこに示唆するものがあります。こうした情報がこれから長い人生を歩む若い人たちの役に立ちます。

娘さんももっている能力に「楽しむ」ことで何度も何度もいろいろな道具を使って試して磨きをかけたようですね。

後志のおじさん自身の語学への傾倒はなにかそういう生活習慣とか性格類型とか、しっかりした「鋳型」が出来上がってしまい、「それ」をせずにはいられないという感じがします。それを知る者はそれを好む者にしかず、それを好むものはそれを楽しむものにしかず、そのまんま。(笑)

真似はできそうもありませんが、ラジオの語学番組はときどき聴くようになりました。特に時事英語はインプットを怠らないことが肝要です。定期購読以外に英字新聞が手に入らないので、ラジオ番組は役に立ちます。英会話番組は楽しむ境地にはとてもなれません。
楽しむ境地になれば聞かずに入られなくなるのでしょう。「時々」が「しょっちゅう」になるのを自然に待ちます。

センスに関する独自のご意見、ありがとうございます。
若い人たちの参考になれば幸いです。
by ebisu (2017-02-25 08:51) 

後志のおじさん

センスという語ですが、一義的には感覚、感性、感じ取ること。あくまでも個々の人格の一部をなすものであり「かくあるべし!」論とは馴染まないものと思慮いたします。

「二桁の素数の二乗を覚えている」ことが、数字の「センス」だ、という論が発端でしたが、「ふ~ん、また始まったか。」とみておりました。案の定、論点がいつの間にか「(北海道の)学校では身に付けられない教科書レベルの基本技能」にズレています。

「教科書レベル」は、身に付いていなければならない「基本知識」「基本技能」のはずです。

発端の「センス」という語から離れずに論をみていると、「楽しみ」にしていた予想通りの運びになっています。

センスねぇ~。ふ~ん?
としか言いようがありません。

by 後志のおじさん (2017-02-25 23:10) 

ebisu

五感(眼耳鼻舌身)もセンスですが、合格先生が言っているのは第六感のことのようです。
二桁の素数の2乗を自然に記憶してしまえるほど乗算のトレーニングを積めば何らかの数学的な第六感が働くと考えているのでしょう。
数学のセンスと二桁の2乗数の記憶の間にはどのような関係があるのはわたしには理解できません。
二桁の2乗数を記憶していて役に立つのはルートを外すときだけではないでしょうか。
具体的に論ずれば納得がいくでしょう。ルートを外すだけなら、後志のおじさんやわたしが書いたように1の位をみるだけでいい。候補は2つしかありません。√289なら、3と7。
225を超えているから、17だということは数字のセンスのよい者は瞬時にわかります。結果を記憶している必要はまったくありません。九九が高速でサーチできればいいだけです。暗記せずに1の位に注目して瞬時に候補を絞り込める、13か17か、17の方だとぱっと判断がつくのが「数字のセンス」というもの。

次いでだからもうひとつ具体例を挙げます。「「約束」と「数学のセンス」」と題する11月16日付の記事があり、五人に3本ずつリボンを配る例題が載っています。

○ 3本×5=15本
× 5人×3=15人?

答えの単位を式の先頭にもってくるのが「約束」だと書いています。さすがに数学の定理だとは書けなかったのでしょう。
2段目は「何本ですか?」という問に対して、「15人」になってしまうから間違いだと彼は書いています。合格先生の「約束」でそうなるだけのことです。お母さんたちに○をつけた立式が正しいのだから、それでよいと推奨しています。
内包量と外延量の概念の区別がついていないように見えます。どうしてこのような思い違いが生ずるのでしょう。
単位系に無理解だからです。意味は一人につき3本ですから、式を正しく書くと、

 5人×3(本/人)=15本
 3(本/人)×5人=15本

5人を先にしても3(本/人)を先にしても結果は15本です、乗法の交換法則がちゃんと成り立っています。乗法の交換法則は、小学校の特定の学年だけで成り立つものではありません。いつでもどこでも、日本でも米国でもドイツでも成り立つ一般的な法則です。そうした普遍的な法則と他では通用しない「約束」を一緒くたにしてはいけないのです。

後志のおじさんがsenseの意味から説き起こしたので、わたしは仏教用語に即して解説します。
「眼耳鼻舌身意」の「意」は意識ですが、それが捉える対象は法です。法とは宇宙の真理、移ろい行く森羅万象のあるがままの姿です、それを意識で素直に捉えることが意の作用です。第六感は意識のなせる技。現象の背後にあるものをただただ素直に見つめること、ないものを見るのは妄想です。

数字のセンスとは高速で要領よく計算ができるとか、ある数字を見てその周辺にある問題や構造など、何かに気がつくことではないだろうかと思います。
高速で四則演算が可能なことと、数学的センスに間には相関関係がないことは珠算の有段者の例でわかります。珠算の有段者にとくに数学が得意な者が多いという事実はありません。
数学的感覚は高速計算とは別のところにあるようです。
大数学者の岡潔先生が3の4乗を問われて、しばし答えに詰まったというエピソードが残されています。瞬時に3の4乗が答えられないから、大数学者である岡潔が数学のセンスがないとは誰も言わないでしょう。(笑)

by ebisu (2017-02-26 13:07) 

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