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#3436 フェルマーの最終定理と経済学(序):数遊び  Oct. 13, 2016 [21世紀の経済社会 理論と理念と展望]

 「1~100までに素数はいくつありますか」とか、「1~100までの数字を書いたカードがあります。素数のカードを引く確率を求めなさい」、こういう問題を中3や中2に出題したら、いったい何割の生徒が正解するか試してみた意気がします。こういう遊びをふだんしている生徒はとっても少ないように感じています。いくつあるのか自分で数えてみてください。わたしはおっちょこちょいですから、1個くらい見落とす可能性があります。あなたは大丈夫ですか?

 さて、百までの素数(1と自分自身以外に約数のない数で、1は除く)を並べてみました。

 2=1+1

 3=1+2
 5=2+3
 7=3+4
 11=5+6
 13=6+7
 17=8+9
 19=9+10
 23=11+12
 29=14+15
 31=15+16
 37=18+19
 41=20+21
 43=21+22
 47=23+24
 53=26+27
 59=29+30
 61=30+31
 67=33+34
 71=35+36
 73=36+37
 79=39+40
 83=41+42
 89=44+45
 91=45+46
 97=48+49
 ・・・・・

 あれ、26個ありますね、百までの自然数の中に素数は25個しかありません。1個だけ素数でないものが混じっていますから、見つけてください。(10/14午後5時半追記)

 百までの素数を並べてみたら、2以外の素数は連続する自然数の和で表せることがわかります。それでは、すべての素数が連続する自然数の和で表せるでしょうか? (⇒中2レベルの証明問題)

 数字は面白い。秘密がいっぱい隠されています。藤原正彦・小川洋子共著『世にも美しい数学入門』p.131には素数に関する「ゴールドバッハの問題」というのが載っています。「6以上の偶数はすべて二つの素数の和で表せる」というものです。

 6=3+3
  8=3+5
 10=3+7
 12=5+7
 14=7+7=3+11
 ・・・
 美しいでしょ!
 暇があったら100までの偶数を書き出して、やってみたらいかが?一番最後の偶数は100ですが、次のように書けます。
 100=2+3+5+7+11+13+17+19+23
       =3+97=11+89=17+83=19+91=29+71=41+59=47+53

  100だけでも何通りに書き分けられるのでしょう。項数が一番多いのは9項、和で表すので一番少ないのは2項です。8項では何通りの書き分けがあり、7項では、6項では、・・・、2項では7通り、こういう退屈しのぎを日がな一日やっていたらきっと惚(ぼ)けません。(笑)

 この本にはさまざまな数が解説してあります、「友愛数」や「完全数」というのもあります。220と284が友愛数です。自分自身を除いた約数の合計が相互に相手の数になるのが「友愛数」です。では、220と284の次に現れる友愛数はいくつといくつでしょう。
 名前を横に並べて書いたら、縦に読んでもお互いの名前になる、そういう組み合わせもありますが、これはなんと名づけたらよいのでしょう、「友愛ネーム」、そういう偶然にある日気がついたら赤い糸でつながっているような気がしませんか。実際には頻度が大きそうです。2文字の名前でお尻の一字と頭の一字が共通ならそうなります。
 「友愛ネーム」なんてことは書いてありませんが、数字に関する謎が盛りだくさんです、興味がわいたら本を買って読んでください。地域活性化のために地元の本屋さんを利用しましょう。
 

  最初はここまでのつもりでした。ところがひょんなことに気がつき、タイトルも替えました。ものは序(つい)でと申しますから、次回は「フェルマーの最終定理」と経済学を取り上げます。まったく関係がなさそうですが、接点は見つかるでしょうか?

 フェルマーの最終定理を説明しておきましょう。

 x^n + y^n = z^n

  n=2 のときはピタゴラスの定理だから、整数解のあることがわかります。フェルマーもここから始めました。
 (3, 4, 9)、(5, 12, 13)
 では、n=3のときは?n=4のときは、n=5のときは、.....
 フェルマーの最終定理はnが2よりも大きいときに整数解が存在しないというものです。
 あまたの数学者がn=3のときの整数解を見つけようと努力しましたが、誰も見つけられません。フェルマーは、いままでだれも見つけられないのだから、整数解はないと考えたのです。このフェルマーの予想は、約300年間証明されませんでした。世界中の数学者が証明に挑戦しては敗れていったのです、まさに屍累々です。

 まったく関連のない楕円方程式とモジュラー形式が同一のものであることを予想したのは、日本人の数学者でした、谷山=志村予想と呼ばれています。ワイルズが谷山=志村予想を足がかりにして、楕円方程式の領域とモジュラー形式の領域の統一をどのように成し遂げ、フェルマーの最終定理を証明したのかは『フェルマーの最終定理』(サイモン・シン、青木薫訳 新潮社)に詳しく書かれています。
 わたしの関心は、学の体系構成という観点から見たときに、経済学と数学が同じものであるということにあります。一見無関係の領域に同型性を見つけたという点では、谷山=志村予想と同じ発見であるかもしれません。
 カテゴリー「資本論と21世紀の経済学」にまとめてありますが、数年後にコンパクトにして第3版をアップするつもりです。

 ところで、この本の第Ⅵ章にガロアが出てきます。1969年にインフェルトの『ガロアの生涯』を読んだことがあり、懐かしさが甦りました。話の焦点が異なるので、面白く読めました。


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フェルマーの最終定理 (新潮文庫)

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  • 出版社/メーカー: 新潮社
  • 発売日: 2006/05/30
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ガロアの生涯―神々の愛でし人

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世にも美しい数学入門 (ちくまプリマー新書)

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博士の愛した数式 (新潮文庫)

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