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#3158 日本語読み・書きトレーニング(5):数学と「読み」のスキル Oct. 16, 2015   [数学]

 10/18朝 <<一般式と抽象性>>他追記 
     13:30 追記および編集
     21:00 追記:中学卒業までに育てるべき「読み・書き・計算」能力について共通の理解が必要。


 「日本語読み・書きトレーニング」の5回目は、算数・数学の文章題と読解力の問題をとりあげますが、資料の制約があり、問題の整理ぐらいが関の山という状況です。

〈 利用できるデータから見えること 〉
 データを示すことからはじめたいのですが、利用できる全国学力テストデータがないので、「平成27年度釧路市標準学力検査の結果について」から数字を引用します。この資料は公開されているので、興味のある方は釧路市教委のホームページで検索してください(このテストは目標値の設定が甘く、「釧路の教育を考える会」ではあまり評判がよくありません)。
 対象は、小学3・4・5年と、中学1・2年の5学年です。小6と中3は全国学力テストがあるから必要なしという判断のようです。必要に応じてさらにセグメントされた情報が開示されないと、分析ができなくなることはおいおいわかります。
 小5と中2のデータをとりあげます。

<< 小5の結果データ分析 >>
 小5算数問題のうち、文章題は番号16~20の5題です。それぞれの問題ごとに無回答の比率が表示されています。
  (問題番号、正解率、無回答比率)
  (16,    37.4%, 12.5%)
  (17,    46.4%,   9.4%)
  (18,    12.1%, 27.9%)
  (19,    67.1%, 16.4%)
  (20-1, 49.7%, 18.4%)
  (20-2, 52.0%,   8.0%)
  (20-3, 54.4%, 23.3%)

 文章題6題で無解答の平均は16.6%(4年生は24.3%)です。4年とのデータ比較から、5年生算数は問題の難易度の設定が甘すぎます。
 内容が載っているので転載します。
--------------------------------------
 16:伴って変わる数量の関係(比例)式に表す
 17:平行四辺形を作図する
 18:ひし形の性質を理解し作図する
 19:二次元表を読み、問いに答える
 20-1:2つの折れ線グラフの値の差を正しく読み取る
 20-2:折れ線グラフと棒グラフを正しく読み取る
 20-3:折れ線グラフと棒グラフを正しく読み取り問題を解く
--------------------------------------

 ほとんど通常の文章題の範囲には入らない問題です。こういうレベルの問題では、文意が読み取れないという生徒はほとんどいません。それでも1/6が無解答です、どういうことでしょう。わたしは、問題文が視野に入ったとたんに、読むことすらせずにパスしてしまう生徒の姿が浮かびます。
 ついでに、国語の記述式問題のほうの無回答もみておきますか。指定された長さで書く問題や、取材者としての感想を書く問題などが出題されています。
 (7, 55.7%, 12.7%)
 記述式問題は4問あります。

<<中2の結果データ分析>>
 中2数学問題の18番は度数分布表から階級の相対度数を求める問題と度数分布表から最頻値を求める問題です、これは文章題には含めなくてもよいでしょう。19番の「資料の範囲の意味を理解している」という問題も同様。20番と21番も文章題から外すと残るは22番の1次関数の文章題のみ。

  (22-1, 79.2%, 12.0%)
  (22-2, 20.7%, 36.6%)
  (22-3, 22.0%, 29.5%)

  無回答率の平均値は26.0%
-------------------------------------
22-1:ある座標から数値を読み取る
22-2:グラフの特徴から、その関数が比例であることを説明する
22-3:グラフを読み取り、プロジェクターから体育館のスクリーンまでの距離を求める
-------------------------------------

 中身を見ると、文章題と言えるのは22-3だけですね。5年生も中2年生も統計の問題が多すぎました。中2でもその傾向が維持されています。たぶん同じ方がデザインされたのでしょう。
 市販問題集に比べると文章題が少なく、難易度が低い、「目標値設定の軽さ」だけでなく、この点も首を傾げたくなります。数学B問題がなぜできないのかを探ることも釧路市独自の「標準学力テスト」実施の目的だったはずですが、みごとにピントを外しています。担当の部はどういう仕様書をテスト業者に提示したのでしょう?こういう仕事は、仕様書の確認からすべきで、市政チェックは市議会の役割です。

 文章題といっても、種類があります。中学校の範囲で出題されるのは、1次方程式の文章題、連立方程式の文章題、証明問題、2次方程式の文章題、順列・組合せ・確率の文章題、1次関数の文章題、2次関数と1次関数の文章題、図形に関する文章題などがあります。
 問題文の「読み」が重要な役割を果たすのは方程式の文章題に限定されると考えてよいでしょう。確率も関数もその中身を理解していないと、文章が読めただけでは解けません。
 文意が理解できない生徒は、立式できないと考えるべきです。
 無解答が、文意を理解できないことによるのか、文意は読めるが立式ができないことによるのかを見分けるためには、この「標準学力検査」をデザインしなおさないといけないようです。

 中2国語問題は記述式の問題7番の無回答率が18.7%文法・語句に関する知識を問う問題3番の無回答率が30.0%となっていますから、文法や語句に関する知識が貧弱であると言えるようです。

<< 小中を通して見えること >>
 算数・数学の無回答はおおよそ1/4です。文章題の難易度を標準的なものに上げたら、その割合は1/3に達するでしょう
 小学校で文章題をパスした生徒は、中学校でも文章読解力が育たず、やはり文章題をパスする傾向がある。つまり、小学校で日本語読解力が貧弱だと、中学生になっても基礎学力=「読み・書き計算」能力は低いまま固定化されてしまっていると言えそうです。
 これは仮説ですが、文章題に無回答である生徒は計算問題も得点が低いのではないでしょうか。「読み・書き・計算」三拍子そろって貧弱という生徒像が浮かびます。小学校で三拍子そろった生徒の大半は、高校を卒業する時点でも、同学年に比べて著しく「読み・書き・計算」能力が劣っています。むしろその差が拡大したと受け取っていいと思います。
 ある会社で採用を担当し、就職試験問題を作成した方が、「一度やってわかった、出身校でテストの点数に判断がつく、釧路湖陵が○○の階層に収まり、江南が・・・」と解説してくれたことを思い出します。テスト問題は国語と算数ともに小6年生の問題集から百題ずつ採録したものだそうです、まさしく基礎学力を問う問題でありました。
 小中学校で基礎学力のさまざまなレベルの生徒が混在していたのが、高校入試できれいに振り分けられてしまう現実があります

<< 文章題の難易度は桁外れに低い >>
 方程式の文章題に限定して分析してみます。
   問題文の読解⇒立式⇒計算 
 これら三つがそろって正解です。無解答は最初のステップでの躓きでしょう。第2ステップと第3ステップでの躓きは「不正解-無解答」(59.4%-26.0=33.4%)の層ということになります。

 標準的な難易度の文章題を前提にすると、読解力不足で文意が読み取れず手も足も出ない生徒がおおよそ4割、文意を誤解して立式を間違えたり計算を間違える生徒が3割、正解率は3割程度となるのでしょう。
 「標準学力検査」となっていますが、こんなに難易度の低い文章題しか載っていないような市販問題集は日本国には存在しません。全国学力テストの算数・数学B問題に該当するような難易度の問題がほとんどない、このような低レベルの問題を生徒たちに実施して、釧路市は何を測定し、何を改善しようとしているのでしょう。問題のレベルが異常に低く、デザインがお粗末です。どういう仕様書を提示したのか、そして検証委員会は何を検証し、なぜこういう大事なことを見落としたのか、釧路市議会で取り上げてほしいと思います。
 難易度ばかりでなく、目標値の設定も甘く、首を傾げたくなるような設定値が散見されます。これでは生徒も先生も勘違いを起こします。難易度を市販の標準レベルの問題集に近づけるべきですこんなに寸足らずの物差しで測ったのでは、みんな大きく見えてしまいます、早い話が、インチキということ。教育村の関係者が半数以上集まると、こういう杜撰な仕事になるのは利害関係と品性からわかりきったこと。品格のある人間はこのような好い加減な仕事を良しとしません。

<< 方程式の文章題立式について:同型性 >>
 方程式の文章題は、問題文の読解ができれば、あとは立式の問題となります。わたしは「文章題四つの解き方」で指導しています。ついでですから、解説しておきます。
---------------------------------
①簡単な数字に置き換えて考える
②線分図やポンチ絵にして、問題文の数値を書き込んで考える
③表を使う
④ ①から③を組み合わせて使う
---------------------------------

 これで道立高校入試で出てくる方程式の文章題は全部解けます。この中で生徒と先生が一番苦労する内包量を扱う③についてだけ、言及します。
 表を使うのは、速度に関する問題、食塩水の濃度に関する問題、平均値の3種類の問題です。表の基本形は「3行3列」です。表に問題文の数字を書き込み、次に空欄になっているところを2番目の表で説明する算式を利用して埋めるだけで立式が完成します。
 便利なのはこれら三つがまったく同じ計算パターンで解けること抽象度を上げるとこれら別々に見える問題は同型であることがわかります。名詞で書くと別々の語彙が、①②③という記号を使って記述すると同じものになります。数学的思考には、異分野に同型性を見つけることが含まれています。ピンとこないでしょうから、項目を並べます。

 ① 距離    食塩   合計
 ② 時間    食塩水  人数
 ③ 速度    濃度   平均値

 この順番に並べて表を作ると同型性がわかります。別々の名詞で書かれていた各項目が同じ記号で表現できます。つまり、表を埋めるのにまったく同じ操作で立式が可能ということ。

 ①=②×③
 ②=①÷③
 ③=①÷②

 教科書でも問題集でもこの順序で表を作って解説した例を知りません。これら3分野は同型ですから別々に教える必要はないのです。速度と濃度と平均値(内包量=比で表された値)が実は同じ問題であることを表を使って解説すれば、抽象度を高めると覚える公式の数を減らせることを実例で理解できます
 内包量には加法が成立しないことも、速度・濃度・平均値と横断的に見ていくことで、比較しながら統一的に理解できるでしょう、教科書や指導書の表の使い方が悪いので内包量をちゃんと理解できない生徒が多い、教えるほうも難しい。
 たとえば、距離と時間は加法と減法(足し算・引き算)が成り立ちますが、速度は加法や減法が成り立ちません。時速50kmで走る車と80kmで走る車の速度を足しても意味がありません。食塩水の濃度も同じように、10%の食塩水に20%の食塩水を加えても30%にはなりません。数学と英語の平均点がそれぞれ60点と55点であったとして、それを足すことに意味はありません。それらに対して距離や時間、食塩の量や食塩水、得点や人数は足し算してよい外延量です。まったく性質の異なる外延量と内包量を扱うわけですから難しいわけです。
 同じ表で、同じ順番で扱うと教えるほうも教えられるほうもずいぶん楽になります。

 高校数学では佐藤恒雄先生が十数冊の分野別参考書を書いておられます。大学入試に出題される問題を全部で500を超えるパターンに分解して解説していますが、そんなものを全部、高校生が3年間で勉強しきれるのでしょうか、はなはだ疑問です。
 抽象度を上げて、これらを数分の一にできたら、勉強はずっと楽になるし、応用の広いコア部分の知識を身につけられます。数学においては抽象度を上げて同型性を見抜く思考に慣れるということがいかに大切かお分かりいただけると思います

--------------------------------------------

  ここでちょっとだけ中学数学の範囲を超えて、高校数学への橋渡し部分と、もっとずっと先のほかの諸科学への橋渡しに言及します。飛ばしてくださって結構ですが、でも大事ですから、やっぱり辛抱してください。(笑)

<< 一般式と抽象性 >>
 一般式というのは個別の問題から具体性を捨象してすべての場合に適用できる抽象的な式を導き出すことでえられます。個別の問題で考えると、その数は無限です、それに対し一般式はすべてのケースを包含しています、だから抽象度をアップして一般式で思考することに慣れる必要があるわけです。
 高校数学では一般式で考えることや公式の導出操作に慣れておかなければなりません。中学数学に比べるとそのあたりの重みが格段に増すのです。覚えなければならない公式の数が中学校の数十倍も出てきますから、自分で公式の導出に習熟するぐらい慣れていないと道具として自在に使えるようにはならないのです。自分で何度も一般式の導出トレーニングをすることで、理解も徐々に深くなります。
 そういうことを考えると、中学数学で2次方程式の一般解の公式の導出を繰り返しやることは、高校数学への準備作業として意味があります。それすらできない中学生に標準的な普通科の高校数学の理解ははなはだ困難、はっきり言って無理です。
 数学がわからなければ、自然現象の中に数式を見るのですから、高校物理の理解も無理。抽象度が上がるほど数学は諸科学で使える(応用範囲の広い)ものになります。統計学や経済学は言うに及ばす、原価計算論だって数学(微分方程式)が顔を出します。抽象性が高いために数学の応用分野はあらゆる諸科学に及びます。

< 同型性についての余談 >
 同型性を見抜く力は学問研究にも大きな力となります。わたしは三十数年前にマルクス『資本論』とユークリッド『原論』の「概念の体系構成」に同型性を発見しました。いまでも、世界中の経済学者がだれも気がついていません。世界最古の数学書であるユークリッド『原論』を読む経済学者がいないのでしょう。
  高校時代に図書室にあった『資本論第1巻』を読み、森の中にさまよう感覚がして、百ページほど読んで、とてもいまの学力では歯が立たない、いつかマルクス『資本論』を理解し、乗り越えてやろうと不敵な決心抱いてからそれが適うまで15年ほどを費やしました。公認会計士2次試験の受験参考書「経済学」は近代経済学だったので、高校2年生のわたしでもケインズくらいは何とか理解できたのです。ところがマルクス『資本論』は目の前に聳える断崖絶壁と大きな森を感じさせました。
 30歳のわたしは自分が理解できても、そのイメージを他人にうまく説明できません、それでライフワークにしました。
 スミスの『国富論』、リカード『経済学および課税の原理』、マルクス『資本論』の三つともまとめてひっくり返し、日本の伝統的価値観に基づく新しい経済学「職人中心経済学」をようやく創造し、今年1月にブログで公表しました。
 『国富論』の出版は1776年ですから、二百数十年続いた西洋経済学の終焉を書いたつもりです。世界の経済学者たちがその重要性を理解するのにまだ百年かかるのでしょう、手遅れにならぬうちに早く気がついてもらいたい。

 #3097 資本論と21世紀の経済学(改訂第2版) <目次>  Aug. 2, 2015
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2015-08-15

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< 低学力化を加速するさまざまな要因 >
 小学校高学年で、少年団活動にのめりこみ、スマホやパソコン、そしてゲームを買い与え、好きなだけ使わせていれば、本を読まず、家庭学習習慣のない子供ができあがります。中学生になれば、なぜか部活がさらに盛んになり、ますます読書時間が失われます。読んでいてもイージな作品が多くなっています。アニメのノベライズものは漫画の本に毛の生えたようなもの、そういう本に夢中になって、レベルが上がってきません。

 小学生も中学生も、生徒の1/4が、「読み」のスキルに問題を抱えていると言ってよいでしょう。9年間そういう状態が続いたら、「本を読まない」、「辞書を引かない」が習慣になってしまっていますから、高校生で改善できる生徒は稀でしょう。
 どうしてそうなるのかは、個々に事情が異なるのでしょうが、
 ①親が勉強に関心が薄い
 ②親と先生が文武両道を言わない
 ③親がゲームにはまっている
 ④親が本を読む習慣がない
 ⑤家に6段以上の本棚がない
 ⑥家庭内での会話が丁寧な日本語になっていない。
  (1語~5語程度の、ブツ切れの会話をしている)
 ⑦子どもたちの「辛抱力」の低下=わがまま度合いが大きくなっている
   
 いくらでも挙げられるのでしょうがこれくらいにしておきます。家庭環境がどうあろうと、伸びる生徒は必ずいます。本人しだいのところもありますが、たくさん事例を観察すれば、家庭環境の相違や都会と地方の格差は無視できないものでしょう。
 キャリア官僚は根室には一人もいないし、一部上場企業の本社部門もひとつもありませんから、そういう家庭の暮らしぶりや、その子どもがどういう学力レベルなのか目にすることがありません。

  キャリア官僚>国家公務員>都道府県公務員>市町村公務員

 序列がはっきり決まっています。権限の大きさの順に並んでいます。退職後の就職先もはっきり違います。根室にいたら、事例を目にしないのでわからないのです。わかるのは、都会から転校してくる生徒の中に特別頭のよさそうなのがいることぐらいです。

 高校数学では「問題文の読み」の重要性が中学校時代の3倍くらい重要になります。問題文を読み、出題者が何を意図しているのかを見抜くとか、読み替える操作が要求されます。中学校とは比較にならぬくらい、問題文の読み方がシビアになります。
 基礎学力三本柱、「読み・書き・計算」のうち、「読み」の力が標準に達しなければ、入り口で躓き、高校数学を制覇できません。もちろん現代国語もです。何度か書いていますが、教科書のレベルが問題にならぬぐらいレベルアップします。アニメのノベライズものや東野圭吾の作品レベルのエンターティンメントを読み漁っていた生徒は標準的な普通科の現代国語に収載されている作品に歯が立たないでしょう。
 高校現代国語や高校数学を前提に、中学校卒業までにどれほどの「読み・書き・計算」能力が要求されるのか、達成されるべき基礎学力について共通の理解が必要と思います
 
 釧路市独自の「標準学力検査」を取り上げて、具体的に論じましたが、悲観的になる必要はありません。現実を現実と受け止め、関係者の皆さんそれぞれがやれる範囲で仕事の改善努力をしていただきたい。
 自分のためではなく、ちょっとだけ「世のため人のため」に仕事をしようではないですか、現実は変えられます。
 
 最後に、全国学力テストデータが、学力改善のために、学校別・科目別に基本統計量がすべて公開されるように望みます。


*#2853 『釧路市学力保障条例の研究(1)』東大大学院教育行政学論叢 Oct. 29, 2014 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2014-10-29


*#3154 日本語読み・書きトレーニング(1) Oct. 11, 2015 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2015-10-11-1

 #3155 日本語読み・書きトレーニング(2):総論 「読み」と「書き」 Oct. 12, 2015 
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2015-10-12

 #3156 日本語読み・書きトレーニング(3):先読みの技 Oct. 14, 2015
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2015-10-14

 #3157 日本語読み・書きトレーニング(4):「書き」の「守・破・離」」 Oct. 15, 2015
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2015-10-14-1

 #3158 日本語読み・書きトレーニング(5):数学と「読み」のスキル Oct. 16, 2015
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2015-10-15

 #3159 日本語読み・書きトレーニング(6):数学と「読み」のスキル-2 Oct. 19, 2015
http://nimuorojyuku.blog.so-net.ne.jp/2015-10-19

 

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