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#2625 数学問題(#2622)の解答 Mar. 21, 2014 [数学]

 日曜日にアップするつもりだったが、観測史上最大の吹雪に見舞われ、ニムオロ塾は休みにしたので、予定を早めることにした。本稿は#2622に掲載した就職試験問題の解説と解答である。

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【問題】
  座標平面状において、点A(-1, 0)、点B(1, 0)があり、直線 y=x-2 上に任意の点Pをとる。このとき、AP+PB(線分APと線分PBの長さの合計)の最小値はいくらか。
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 これは線対称の問題で、y=x-2を線対称の軸に見立てると簡単な問題になる。そこを見抜けるかどうかはセンス次第だろう。もっとも、この手の問題を何題か解いた経験のある人なら、すぐに気がつくだろう。必要な基礎知識は中3程度で充分であるが、就活中の学生はずいぶん昔のことなので忘れている人が多いのではないか。

 ワードで作図しておいたのだが、貼り付けられないので、文章で説明するしかない。図を見ていただいたほうが簡単なのだが、自分で描いて確認してもらいたい。高校入試を受けた諸君にも良問になっている。

 与えられた座標はA(-1, 0), B(1, 0)
 与えられた直線の式は y=x-2

 y=x-2を線対称の軸Lとすると、Bに対応するB'の座標は直線Lのx切片C(2, 0)とBとを一辺とする正方形を作るから、B'(-1, 1)は図を描いてみれば明らかで、計算の必要もない。

 AB'と直線Lの交点をPとすればよい。
 このとき、PB=PB'も明らか、
  したがって、AP+PB=AP+PB'

 AC=3、CB'=1だから、
  AB'=√(3^2+1^2)=√10
 よって、AP+PB=√10
         

  久しぶりに数学問題にチャレンジした人もいるだろう、楽しんでもらえただろう。


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凡例:
 3の2乗⇒3^2
 ルート10⇒√10
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